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于无声处听惊雷：天体物理起源——引力波的宇宙学应用：
NOTE:全文(不含参考文献)共计31059字,含主要公式或方程68项,引用或参考相关文献共125篇.
摘要
本文综述了天体物理起源的引力波天文学近些年来的发展现状以及未来空间/地面引力波探测的若干宇宙学相关的科学问题, 尤其是引力透镜和引力波汽笛相关科学. 本文介绍了致密双星系统(恒星级质量双黑洞、双中子星)、连续引力波源(高速自转中子星、极端质量比双星)、银河系双白矮星前景等波源; 引力波的强引力透镜时间延迟、强/弱引力透镜放大率、波动光学以及引力波的衍射效应; 引力波的光度距离畸变效应; 引力波的电磁对应体观测; 引力波的宇宙学应用等方面.
关键词：引力波, 宇宙学, 致密双星
1 引言
2016年2月11日, 欧洲室女座引力波探测器 Virgo 和美国激光干涉引力波天文台 LIGO (The Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) 宣布, 他们于2015年9月14日捕捉到双黑洞并合产生的引力波暴, 并为之命名为 GW150914 ;这是人类第一次直接探测到引力波信号. 2017年8月17日, LIGO/Virgo 合作组又第一次探测到了由双中子星并合产生的引力波信号 GW170817.与之相伴的是, 天文学家在伽马射线、X射线、光学、射电等电磁窗口观测到了相应的协同信号. 这标志着多信使天文学新时代的到来. 截至2020年3月27日, LVC 合作组 (LIGO-Virgo Collaboration) 已经累计观测到90多例双黑洞/双中子星/黑洞-中子星并合事例.这其中不乏令人感到新奇的事例. 如首个中等质量黑洞存在的证据、大质量中子星可能存在的证据、首个黑洞-中子星并合的证据等. 本文将就天体物理起源的引力波信号在多信使天文学以及宇宙学应用方面, 介绍一下近期的研究现状以及未来十几年内的可能发展方向.
本文行文结构大体如下. 第2节将简要地介绍天体物理过程起源的引力波源, 包括: 致密双星并合过程(双中子星或双黑洞系统)、连续引力波源(高速自转中子星和极端质量比旋进系统)以及双白矮星构成的银河系前景. 第3节将围绕着引力波的引力透镜现象展开介绍, 包括: 在几何光学近似下的, 强引力透镜和时间延迟、弱引力透镜和微引力透镜; 此外, 作为引力波透镜现象中的最具特色的, 透镜现象的波动光学效应在电磁波段往往很难以探测到, 但在低频引力波透镜过程中则有可能会被探测到. 第4节将介绍与星系 巡天领域中的“红移空间畸变”效应类似的引力波计数的“光度距离空间畸变”效应及其宇宙学应用. 第5节将介绍引力波的多信使天文学进展和引力波标准汽笛的研究, 其中后者包括具有电磁成协观测的"亮汽笛"以及利用星系的统计性质的"暗汽笛"方法. 最后, 我们以对当前引力波研究的总结和对未来的展望结束全文.
2 引力波源
与电磁波产生机理相似, 引力波的产生波源也是多样的, 不同的引力波源所产生的引力波在频率和振幅上有极大的差别. 按频率划分, 引力波大致可分为极低频 (10^{−18}-10^{−15} Hz) 、甚低频 (10^{−9}–10^{−7} Hz) 、低频 (10^{−3}–0.1 Hz) 和高频 (10 Hz–10 kHz) 四类. 对此, 人们针对不同波段的引力波信号进行全波段探测. 极低频引力波信号, 产生于宇宙极早期宇宙暴胀时期, 人们将其称之为原初引力波. 对于波长为哈勃视界尺度上 的原初引力波信号, 人们无法通过干涉的方式直接对 引力波进行测量. 取而代之的, 人们通过测量其在宇宙微波背景辐射上留下的B模偏振信号来反推其能量分布. 目前美国正在进行的 BICEP/Keck 阵列、我国的阿里原初引力波探测计划等, 都是探测该类型引力波信号的项目. 但是由于这类引力波由宇宙学尺度上的随机过程产生, 不属于本文介绍的重点, 在此不对其进行详细展开. 波长范围大约为纳赫兹的引力波信号, 其周期大约为年的数量级, 产生于超大质量双黑洞旋 进等过程. 由于该过程产生的信号较弱且数目多、信号相干性差, 目前在该频段的科学目标以探测随机引 力波背景为主. 目前人们通过脉冲星计时阵列的方式 对其测量, 相关的项目有北美的 NanoGrav 、澳大 利亚的 Parks 、欧洲的 EPTA 等. 除此之外, 我国目前也在积极部署我国的脉冲星计时阵, CPTA 计划.低频引力波主要产生于超大质量黑洞并合、银河系双白矮星旋进、极端质量比的双致密天体系统等. 这些信号源是未来空间引力波项目的主要科学目标.
目前, 地面激光干涉仪主要用于高频引力波的探测, 如第一代探测器有美国的 LIGO 和欧洲的 GEO600 , Virgo 等, 主要用于研发关键技术.现在正在运行的是第二代探测器: AdvLIGO 和 AdvVirgo . 正是通过第二代探测器, 人们第一次 发现了双黑洞和双中子星并合产生的引力波信号. 对于低频引力波源, 人们提出了空间引力波探测计划. 欧洲-美国合作的 LISA (Laser Interferometer Space Antenna) 计划, 预计2034年发射. LISA 探路者于2015年成功发射, 完成了惯性传感器等关键技术的性能验证引用. 我国也于2019年先后完成了太极1号和天琴1号的发射和技术验证. 而目前, 高频引力波是唯一成功探测到的引力波信号. 它包括致密双星(双中子星、恒星质量双黑洞等)、随机引力波背景、超新星爆发等. 本节主要介绍致密双星并合产生的引力波源.
2.1 致密双星并合
星系中, 大部分的恒星以双星系统的形式存在, 而双星系统的绕转和并合一般有三个阶段. 第一为旋进 (Inspiral) 阶段: 双星间距在此时距离较远, 两星体间的相对速度低于相对论速度; 这一时期, 双星公转轨道的衰减主要由引力波辐射导致, 且具有衰减较慢的特征, 后牛顿近似可以较完备地解释该时期的 引力辐射. 但并合时期 (Merge , 也就是绕转阶段的晚期 ) 有很强的引力场, 后牛顿近似不再适用, 转而需要采取数值相对论方法对其进行求解. 而在最后的铃宕 (Ringdown) 阶段, 双星并合成黑洞后, 为了维持这一 状态的稳定, 通常需要将多余的自由度以引力辐射的形式消耗掉. 所以, 从理论模型来看, 双星并合事件的引力辐射模板由旋进、并合和铃宕三个阶段组成, 这三个阶段的特征对搜寻引力波信号至关重要.
2017年8月17日, 双中子星并合所产生的引力波事件 GW170817 被人类首次探测到. 这种剧烈且奇妙的天文现象, 在当时轰动了整个科学界. 顾名思义, 中子星 (Neutron Star, NS) 是以中子物质为主要成分的星体, 具有极端的物理特点. (1) 极高密度: 一颗中子星的质量约为太阳质量的1.4倍, 但其半径仅有十几千米, 也就是说, 其密度约为把太阳压缩到一个小型城市尺度的大小. (2) 超强的引力场: 中子星较高的密度导致其 表面的引力场强度约为地球表面的一千亿倍. 这就会导致一个类似于地球这样的星体靠近中子星时, 将被其引力场撕成碎片. 所以, 中子星易于从其周围介质或伴星中吸积物质. 同时现代恒星演化理论表明, 中子星是大质量恒星演化末期经引力坍缩而发生超新星爆炸死亡后的产物. 而在星系中, 大部分恒星以双星系统的形式运转, 且在众多双星系统中, 较大质量的一方星体比小星体演化速度快, 在经历超新星爆发形成一颗中子星的过程中领先一步. 而中子星的强引力场会不断吸积原先小质量恒星表面物质, 并在此过程中产生X射线辐射, 形成了名为高质量X射线的双星系统 (High Mass X-ray Binary, HMXB) . 随后, 那颗还未演化完全的恒星会进入半径快速膨胀的巨星阶段, 吞没中子星, 形成公共包层结构 (Common Envelope) . 同一时间, 中子星不断地吸积伴星周围物质而形成再生中子星 (Recycled Neutron Star) . 最后, 未演化的那颗恒星会经历相同的过程: 爆炸形成新生中子星, 与之前 的中子星组成双中子星系统.
从广义相对论中我们知道, 双中子星在互相绕转时会产生变化的质量四极矩, 从而形成较强的引力波辐射. 且双中子星轨道能量逐渐以引力波辐射的形式在演化中被慢慢消耗掉, 双中子星随之逐渐靠近并发生并合, 在并合之时产生较强的引力波信号. 值得一提的是, 在观测到 GW170817 引力波信号大约 1.74 s 后, Fermi 卫星伽马射线暴检测器在天空同一片区域探测到一个持续时长为 2 s 的短暴 GRB170817A . 这一高能天体爆发现象结合后随的光学以及射电爆发,最终被证实为GW170817的电磁对应体.
一般将黑洞根据质量划分为三类. 第一类为恒星级黑洞 (Stellar-Mass Black Holes, SBHs) , 质量在 3M_⊙– 5M_⊙ 之上, 100M_⊙ 之下. 目前已经确认, LIGO 和 Virgo 直接探测到的引力波信号来自于恒星级双黑洞系统. 在此之前, 这类黑洞主要通过 X 射线双星的方式被观测到. 根据目前的引力波探测结果, LIGO 探测到的恒星级双黑洞的并合与X射线双星并无直接因果关系. 第二类为中等质量黑洞 (Intermediate Mass Black Holes, IMBHs) , 质量介于 10^2M_⊙/sim10^5M_⊙ . 最后是位于 10^6M_⊙– 10^{10}M_⊙ 之间的超大质量双黑洞. 2015年, 双黑洞并合事件 GW150914 所产生的引力波信号被人类第一次探测到. 该事件中的两个黑洞质量分别在 36M_⊙ 和 29M_⊙ 左右, 并合后的黑洞质量约为 62M_⊙.由此估计, 以引力波的形式大约释放了 3M_⊙ 能量. 这一引力波事件的 发现令 Rainer Weiss, Barry Barrish 和 Kip Thorne 三位物理学家摘得2017年诺贝尔物理学奖. 随后几个月, 陆续发现 LVT151012 和 GW151226 等恒星级双黑洞并合事件.对此,人们提出了三种可能的模型来描述恒星级双黑洞的演化: 协同演化模型、动力学相互作用和原初黑洞模型.
协同演化模型认为, 对于致密双星系统, 大质量恒星演化到晚期时, 会发生与上述中子星形成类似的过程. 区别在于最初恒星进入主序时的质量, 大于 20M_⊙ 的可能直接形成黑洞. 在绕转最后, 双星坍缩成为黑洞, 轨道间距越来越小, 进而产生引力辐射并最终发生并合. 而动力学相互作用模型认为双黑洞可以在致密星团条件下独立演化为黑洞, 最终再通过动力学过程形成双星. 在密度较高的恒星环境中(如星系核中的星团和球状星团等), 大质量恒星会坍缩成黑洞, 并不断吸积附近恒星, 聚集到星团中心. 相比于场星, 星团中的恒星数密度较高, 在较短的时间内, 大质量恒星形成黑洞的时标缩短, 极大程度地提高了致密双星并合的概率.最后一种是原初黑洞模型,该模型认为原初黑洞在宇宙早期独立产生, 并形成双星系统. 宇宙暴胀结束, 进入辐射主导时期, 此时局部密度骤降, 导致引力坍缩, 进而形成原初黑洞.以上三种绕转并合模型, 具有截然不同的物理形成机制.针对不同的观测数据, 我们需要进行分析, 进而确定与哪种物理机制相符合.
2.2 连续引力波源
一个引力辐射系统能够在较长观测时间内持续稳定地辐射引力波信号, 即该系统的引力波源具有稳定旋转的周期特征, 那么, 这样的波源就被称之为连续引力波源. 本小节主要介绍常见的波源: 高频 (10– 1000 Hz) 的旋转中子星、低频 (10^{−4}–1 Hz) 的双白矮星、 极低频 (10^{−9}–10^{−6} Hz) 的超大质量双黑洞.
中子星是超新星爆发后形成的致密天体. 中子星会绕着自转轴高速旋转, 在地球上会接收到其辐射的电磁信号. 如果中子星的质量分布相对于自转轴不对称, 会产生随时间变化的四极矩, 从而形成引力波. 非轴对称且高速旋转的中子星, 其辐射的引力波振幅为 :
h/simeq4.2/times10^{-26}/left( /frac{/epsilon}{10^{-6}} /right)/left( /frac{I_z}{10^{38}kg·m^2} /right)/left( /frac{1 kpc}{r} /right)/left( /frac{f}{100Hz} /right)^2……(1)
其中 I_z 为惯性张量沿转轴方向的分量, r 表示中子星与地球之间的距离,f为引力波频率, 是中子星自转频率的两倍. 处于毫秒量级自转周期的中子星, 引力波频率 f 一般为几百赫兹, 处于地面激光干涉仪引力波天文台(LIGO)的敏感范围. ϵ ≡ /left( I_x − I_y /right)/I_z 为中子星在垂直转轴方向的椭率.
LVC 利用现有的数据, 针对已知的一些脉冲星进行分析, 尚未发现来自旋转中子星的连续引力波信号,但是可以对引力波做出一些限制.对于部分中子星可以观测到自转减慢的效应.该现象可以用引力波辐射解释,这是由于引力波具有能量和角动量,中子星在辐射引力波时会损失转动能量和角动量,从而导致自转减慢.假设中子星的自转减慢是由于引力波辐射主导的, 可以得到对应的理论上的引力波振幅的上限.但是实际观测却发现, 其自转减慢不能完全由引力波辐射导致.
在低频和极低频段的连续引力波源中,比较重要的一类源是互相绕转的致密双星系统.如果观测时长远远小于并合时长,引力辐射的频率在观测时间内相对稳定,可以看作是连续引力波源.在低频波段,主要由空间引力波探测器进行探测,可观测的连续引力波源中最常见的是双白矮星系统. 白矮星是密度极高的天体,体积虽小,但是在宇宙中数量非常多,是天体中最常见的致密天体.在银河系中就存在着大量的双白矮星,在未来会有大量的双白矮星旋近产生的连续引 力波信号被空间引力波探测器所探测到.
另外,大质量比和中等质量比的双星系统也可以作为连续引力波源,比如中子星、白矮星或者恒星级质量黑洞作为小天体绕着(超)大质量黑洞进行旋转.小质量天体需要花费很长的周期才能与大质量天体并合,因此会在较长时间内辐射出稳定的引力波信号,故而可以作为连续引力波源.这种一大一小、质 量比极其悬殊的双星系统,通常称之为极端质量比旋近 (Extreme Mass-Ratio Inspiral, EMRI) ,其质量比通常小于 10^{−4} . 研究小质量天体的运动过程,可以研究中心黑洞的几何性质,还可以得到大质量黑洞周围时空的信息.
一般定义, 质量不小于10^5M_⊙ 的黑洞为大质量黑洞.通常认为,在星系的中心存在大质量黑洞.因此,星系并合也会使中心大质量黑洞发生绕转和并合.超大质量双黑洞在并合时的引力波辐射频率正好处于空间引力波探测器的敏感范围内.但是,旋转频率会在旋近阶段比较稳定, 表现为连续引力波源.如果频段在 10^{−8} Hz 周围, 则处于脉冲星计时阵列的探测范围.
2.3 银河系前景
在实际观测中,大量的不相干的连续引力波信号会叠加在一起,从而无法分辨其中单个信号,从而形成引力波随机背景. 在 LISA 等空间引力波探测器的观测范围内 (10^{−5}–10^{-1} Hz) , 随机引力波背景可以按 起源分为三个成分:银河系内双白矮星系统的引力波信号以河外星系双黑洞系统和双中子星系统的引力波信号为代表的天体物理引力波信号,以及宇宙早期过程(例如暴胀理论、宇宙相变或宇宙弦)的宇宙学引力波信号.银河系内大量双白矮星系统的引力波信号叠加得到的随机引力波背景可以看做前景噪声.这个前景的存在为我们观察宇宙学产生的随机背景带来了挑战性.
类似于 CMB 领域中消除银河系或其他前景污染的数据分析手续,为了消除双白矮星产生的引力波银河系前景,从而获得天体物理随机引力波背景和宇宙学引力波背景,需要了解双白矮星系统的天区分布.根据银河系的质量模型可以对双白矮星系统在银河系中的分布进行模拟,从而得到预测引力波银河系前景的亮度分布, 如图1所示.
虽然根据模拟得到银河系中有近三千万个双白矮星系统可以产生频率位于LISA等空间引力波探测器观测范围的引力波信号,但是经过计算,仅约有一万多 个系统可以被直接分辨出来,剩下的所有双白矮星系统产生的引力波信号将混叠为银河系的引力波前景.一个可辨认且可认证的双白矮星系统需要产生信噪比大于7的引力波信号, 同时还要保证在一个最小频率观测范围内仅有一颗双白矮星的引力波信号.图2展示了 Boileau 等人利用 Lamberts 等人的双白矮星目录计算得到它们在功率谱中的分布. 此外,还有很多研究讨论对空间引力波探测器探测双白矮星系统的能力. 例如, Nelemans 等人模拟了用 LISA 能够观 测到的银河系致密双星的信号, 给出了 LISA 预期能够探测到的不同类型双白矮星的数目为12124. Huang 等人研究了天琴对双白矮星的探测能力,预期在五年观测时间内可以探测到约1万对银河系双白矮星.
3 引力波的透镜效应
随着引力波事件的积累和探测器灵敏度的提升,引力波在天文学上的应用变得愈发重要.在琳琅满目的引力波应用市场上, 引力波的引力透镜现象研究是诸多"产品"中较为重要的那一个. 当引力波在传播过程中经过一些物质的高密度区或者低密度区时,它们的传播方向甚至波形会发生改变,这就是引力波的引力透镜现象.最近的研究表明,引力波的引力透镜信号很有可能在未来几年内被探测到.
3.1 几何光学近似
在引力波的波长远小于透镜体的史瓦西半径的情况下,引力波的引力透镜有着与电磁波的引力透镜相似的现象.在几何光学近似下,引力透镜并不会在引力波的波形上产生一个与频率相关的畸变.而是仅仅在引力波振幅上产生一个整体的放大或者缩小效应.这与目前在电磁波段观测到的透镜现象是类似的.
3.1.1 强引力透镜和复像间的时间延迟效应
我们简单介绍下引力透镜的基本原理.一般假设如下:(1)弱场近似,一般不考虑在黑洞附近或者靠近中子星的光线偏折;(2)光线的偏折角很小;(3)平面近似,透镜体的厚度远远小于透镜体到光源的距离、观测者到透镜的距离以及观测者到光源的距离,透镜体可以看成一个无限薄的平面透镜.如果光线是沿着z轴进行传播,可以将透镜体的质量分布投影到视线方向上,那么就可以得到透镜平面的质量面密度:
/sum{/left( /xi /right)}=/int/rho/left( /xi,z /right)dz……(2)
其中 ξ 表示透镜平面上的二维矢量. 二维偏折角是来自透镜平面上所有质量元的总贡献 :
表示透镜平面上的二维矢量. 二维偏折角是来自透镜平面上所有质量元的总贡献 :
/alpha'/left( /xi /right)=/frac{4G}{c^2}/int/frac{(/xi-/xi ')/sum{(/xi')}}{|/xi-/xi'|}d^2/xi'……(3)
如果透镜体的质量分布对于光轴是球对称的, 二维偏折角就可以简化为一维形式:
/alpha'/left( /xi /right)=/frac{4GM(/xi)}{c^2/xi}……(4)
其中 /xi 是到透镜中心的距离, M(/xi) 表示半径 ξ 以内包含的透镜体质量:
M(/xi)=2/pi /int_{0}^{/xi}/sum(/xi')/xi' d/xi' ……(5)
从光源S发出的光线,经过透镜体发生偏折,偏折角记为 α',最后被观测者观测到,将透镜体到光源的距离记为 D_{ds}, 观测者到透镜的距离记为 D_d 以及观测者到光源的距离记为 D_s.光源所在真实的位置 S ,不经过偏折的光线与 z 轴的夹角为 β ,但实际情况是受到透镜体的作用发生了偏折,观测者看到的光线与 z 轴夹角为 θ .从几何关系很容易得到重要的透镜方程:
/beta=/theta-/alpha(/theta)……(6)
其中引入约化偏折角: /alpha=/frac{D_{ds}}{D_s}/alpha'……(7)
透镜方程是将像和光源的位置联系起来.一般情况下透镜方程中 θ 和 β 的关系是非线性的, 这表示单一的光源位置 β 可能会有多个不同位置的像.如果考虑轴对称的透镜体,透镜方程可变为:
/beta(/theta)=/theta -/frac{D_{ds}}{D_dD_s}/frac{4GM(/theta)}{c^2/theta}=/theta-/frac{M/theta}{/pi(D_d/theta)^2/sum_{cr}}……(8)
其中 /sum_{cr} 是临界面密度: /sum_{cr}=/frac{c^2}{4/pi G}/frac{D_s}{D_d D_{ds}}……(9)
如果光源恰好在光轴上 (β = 0) ,我们可以得到透镜方程的一个解 :
/theta_E=/left[ /frac{4GM(/theta_E)}{c^2}/frac{D_{ds}}{D_dD_s}/right]^{/frac{1}{2}}……(10)
说明产生的像是一个环,称为爱因斯坦环.
对于任意质量分布的引力透镜,首先引入标量透镜势:
/Psi(/theta)=/frac{D_{ds}}{D_dD_s}/frac{2}{c^2}/int/Phi(D_d/theta,z)dz……(11)
其中 Φ 是透镜体的牛顿引力势, 且 Ψ(θ) 满足二维泊松方程 ▽ ^2Ψ = 4πGΣ . 值得注意的是, 透镜势 Ψ(θ)对 θ 的导数恰好是约化偏折角: ▽_θΨ = α……(12)
其次 Ψ(θ) 与透镜体的质量面密度之间的关系 : ▽_{θ}^{2}Ψ =2/frac{/sum(/theta)}{/sum_{cr}}……(13)
引力透镜不仅会改变光源的光通量,而且会扭曲光源的形状,这种变化可以通过光源映射到像的Jacobi矩阵A来描述:
A=/frac{/partial/beta}{/partial/theta}=/left( /delta_{ij}-/frac{/partial/alpha_i(/theta)}{/partial/theta_j} /right)=/left( /delta_{ij}-/frac{/partial^2/Psi(/theta) }{/partial/theta_i/partial/theta_j} /right)=(δ_{i j} − Ψ_{i j})……(14)
其中 Ψ_{i j} 是引力势的空间二阶微分.此时分别定义会聚参数 κ (Convergence) 和剪切参数 γ (Shear)
κ=/frac{1}{2}(/Psi_{11}+/Psi_{22}) ,// γ_1(θ) =/frac{1}{2}(/Psi_{11}-/Psi_{22})=γ(/theta)cos[2/phi(/theta)],// γ_2(θ)=/Psi_{12}=/Psi_{21}=γ(/theta)sin[2/phi(/theta)]……(15)
其中: /gamma=/sqrt{/gamma_1^2+/gamma_2^2}……(16)// /phi=/frac{1}{2}arctan/left( /frac{/gamma_2}{/gamma_1} /right)……(17)
根据上面的定义, Jacobi 矩阵可以写成: A=/left( /begin{array}{ccc} 1-/kappa-/gamma_1 & -/gamma_2 // -/gamma_2 & 1-/kappa+/gamma_1 // /end{array} /right)……(18)
κ 表示光源被透镜各向同性地放大或缩小,而 γ 表示剪切参数的大小,描述透镜对光源形状的扭曲,因此一个圆形光源在引力透镜的作用下会观测到一个椭圆光源.引力透镜的放大率定义为:
/mu=/frac{/delta/theta^2}{/delta/beta^2}=/frac{1}{detA}=/frac{1}{/left| (1-/kappa)^2-/gamma^2 /right|}……(19)
如果 /mu > 1 ,原本较暗的背景源被引力透镜增亮而进入到观测者的视线中.
天文学家将引力透镜划分为强引力透镜、弱引力透镜和微引力透镜三种主要类型.强引力透镜一般是指经过引力透镜后光源在像平面上出现双像、多重像 或者产生巨型光弧.强引力透镜产生的原因是,光源、透镜体和观测者接近在一条直线上,即透镜方程中β很小,经过透镜体中心区域的强引力场的作用,在像平面上产生多重像或出现光弧等强烈的扭曲,此时Jacobi矩阵接近于奇异(行列式接近于0).强透镜产生的多像,光线经过了不同的路线,所以会在不同时间传播到观测者,不同像之间的时间延迟可以表示为:
/tau=/frac{1+z_d}{H_0}/frac{D_dD_s}{D_{ds}}/left[ /frac{(/theta-/beta)^2}{2} -/Psi(/theta)/right]……(20)
其中第一项是由于不同路径长度的几何延迟,第二项是来自透镜势的引力时间延迟, z_d 是透镜体的红移.
由于引力波的强透镜现象中存在光度距离和透镜放大率的简并,所以没有办法只通过一个引力波事件的数据来认证这个引力波是来自比较近的地方但是双星质量比较重(未被放大),还是来自比较远的地方但是拥有比较小的质量(被放大).目前主流的强透镜认证方法,主要是寻找强透镜引力波信号对,也就是由同一波源产生的引力波信号,由于引力透镜的存在,使得观测到两个或多个重复的引力波信号.由透镜产生的引力波信号对有以下几个特征:(1)定位天区相 似; (2)自旋等其他不受强引力透镜影响的参数相似;(3)两个引力波信号之间的时间延迟是否服从由强引力透镜产生的时间延迟统计分布.利用上述三个特征可以初步分辨两个引力波信号是来自于同一个引力波源的两次信号还是两个毫无关联的引力波信号.目前 LIGO 用此方法在 O1+O2+O3a 阶段没有找到明显的引力波信号对.
很多研究工作预测了 LIGO , ET等探测器探测到强引力透镜信号的事件率,比如 Li 等人研究了来自恒星质量双黑洞并合产生引力波的强透镜效应,预测 LIGO 在其设计灵敏度下运行一年可以探测到1个强透镜信号, ET 可以每年探测到80个. Ng 等人同样研究 LIGO 探测器探测强引力透镜信号的事件率,根据 LIGO 的信噪比阈值 ρ_{th} = 8 , 估计透镜事件率为 0.2 ^{+1.0}_{−0.1} / yr^{−1 } ,随着探测灵敏度的增加,事件率最高可能达到 14.2 ^{+80.5}_{−10.7} / yr^{−1} . Yang 等人研究了基于地面探测器对 BNS, NSBH 和 BBH 系统的探测率,预测了其中被透镜化的事件率,结果显示第三代引力波探测器有希望探测到不少被透镜化的事例,且未来探测器的联网观测能够大大提高事件率. Oguri 基于引力透镜放大率的概率密度分布,考虑了强透镜和弱透镜效应,研究了 AdvLIGO , KAGRA , ET , CE 探测器探测到引力透镜信号的事件率.
3.1.2 弱引力透镜和微引力透镜效应
弱引力透镜是指从遥远的背景源发出的信号,在前景星系的作用不足以产生多重像,而是引起像的几何形状的轻微扭曲.其产生条件是,当光源偏离观测者和透镜体的连线较远时(一般的认证标准是源的位置在透镜体爱因斯坦半径 θ_E 之外),即透镜方程中 β 较大时,没有产生多重像或者弧形结构,只是把背景源的位置和形状发生轻微的变换,此时 κ 和 γ 都远小于1, 相应的放大率可以近似为 /mu ≈ 1 + 2κ .
对于引力波的距离测量,不仅会有测量误差,弱引力透镜也会产生很大的内禀误差.假设引力透镜放大率为 /mu ,测量到的距离 D_{app} 与真实距离 D 的关系为 D_{app} = D_{/mu} ^{−/frac{1}{2}} .弱引力透镜可能会对引力波的参数估计贡献较大的误差,尤其对于高红移的引力波事例,弱引力透镜效应造成的测量误差更为显著.在引力波弱引力透镜效应的研究中人们最常用的手段是通过计算弱引力透镜的放大率概率密度分布,从统计的角度来研究弱引力透镜对引力波的光度距离参数估计、双黑洞质量分布等天体物理参数有什么影响.
目前获得弱引力透镜概率密度分布的方法主要 有两种,第一种在N-body模拟的物质密度场中做大量的光线追踪,然后对这些光线做统计分析来获取结果.第二种方法是通过计算光深 (Optical Depth) 得到概率密度分布.相比较而言,第一种方法计算较为复杂,需要耗费大量的计算资源,但是得到的结果更能反应密度场弱透镜的真实情况.第二种方法是一种解析或者半解析的方法(取决于单个透镜体的建模),并且假设了源只会受到一个透镜体的影响,所以结果 会在一定程度上失真,尤其是对于高红移的背景源,优点是计算较为方便快捷,并且在低红移处所得到的结果与 ray-tracing 相差不多.
最近几年的研究工作表明,弱引力透镜产生的光度距离的误差对于未来 LISA,ET 等探测器是不可忽略的,尤其是对于高红移引力波源,弱引力透镜造成的光度距离误差甚至可能成为最主要的误差来源(10%左 右的误差).如图4所示, Cusin 等人研究了大质量双黑洞并合事件在 LISA 空间引力波探测器的观测下,由于弱引力透镜效应对光度距离产生的误差.
星系作为一个质量巨大的透镜体,实际上是由多个离散的恒星组成.每个恒星也可以单独作为一个质量连续分布的透镜体产生强引力透镜效应.因此,被具体某个恒星级(或更小)质量星体的引力势偏折后的效应被称为微引力透镜效应. 微引力透镜在概念上属于强引力透镜,但是由于复像之间距离过近(小于点扩散函数的角尺度)观测上无法分辨,而仅信号上产生畸变, 因此可以通过该效应来寻找微引力透镜.造成光(引力波)强度的变化.微引力透镜效应会在引力波的波形信号上产生畸变, 因此可以通过该效应来寻找微引力透镜.
3.2 波动光学效应
在上一节,我们在引力透镜计算过程中采用几何光学近似. 事实上, 几何光学近似在大多数天文情况下是很好的近似.但是,引力波跟电磁波一个主要的区别 在于引力波波源的尺寸与引力波的波长尺寸差不多.这使得引力波很容易达到衍射极限.另外,当引力波的波长等于或大于透镜体的史瓦西半径时,几何近似就无效了,引力波的引力透镜效应必须考虑波动光学,衍射效应比放大作用更为重要.衍射效应起到明显作用 时透镜体质量需要满足：
M_L/leq10^8M_⊙/left( /frac{f}{mHz} /right)……(21)
其中 f 是引力波的频率.未来的空间引力波探测器,包括 LISA /太极计划等,主要是在毫赫兹频段 (f∼ mHz) 观测来自超大质量双黑洞并合的引力波事件,红移可以到达20且信噪比可以达到 10^2–10^3 ,长波且如此高的信噪比使得波动光学效应在透镜体质量小于 10^8M_⊙ 的情况下对于 LISA 等空间引力波探测很重要.波动的衍射效应会改变引力波的振幅和相位. 如文献[80]中图13所示, 它展示了不同暂现源的尺寸和观测频段. 在右上角阴影区域表示无论透镜体质量如何, 都无法观测到波动光学效应 引力波满足产生波动光学效应的条件;伽马暴、快速射电暴和超新星不具备产生波动光学效应的条件.
(▽^2 + w^2)/tilde{/phi} = 4w^2U/tilde{/phi}……(22)
其中 w = 2πf 是引力波的角频率. 定义放大因子:
F(w, η) =/frac{/tilde{/phi}^L(w,/eta)}{/tilde{/phi}(w, η)}……(23)
其中 /tilde{/phi}^L 和 /tilde{/phi} 分别是在频域上被透镜和没有被透镜的引力波振幅, η 是在源平面上的位置矢量.考虑宇宙膨胀,放大因子可以写为:
F(w, η) =/frac{w(1+z_L)}{2/pi i}/frac{D_s}{D_dD_{ds}}/int d^2/xi exp[iw(1+z_L)t_d(/xi,/eta)]……(24)
其中 z_L 是透镜的红移,t_d是由于引力透镜造成的时间延迟:
t_d(ξ, η) =/frac{D_dD_s}{2D_{ds}}/left| /frac{/xi}{D_d}-/frac{/eta}{D_s} /right|^2-/psi^/wedge(/xi)+/phi_{m}^{/wedge}(/eta)……(25)
其中ϕ_m是未透镜化的引力波的到达时间.引力势 ψ 可以由以下方程得到:
▽^2_ξψ^/wedge = 8πΣ……(26)
为了数值计算方便,引入一个归一化常数 ξ_0 ,定义无量纲的量
x=/frac{/xi}{/xi_0},y=/frac{D_d}{/xi_0 D_s}/eta……(27)
对应的无量纲频率: w =/frac{D_s}{D_{ds}D_d}/xi _0^2(1+z_d)w……(28)
然后, 无量纲的时间延迟为 :
T(x, y) =/frac{D_d D_{ds}}{D_s}/xi _0^{-2}t_d(ξ, η)=/frac{1}{2}/left| x-y /right|^2-/frac{D_d D_{ds}}{D_s}/xi _0^{-2}/psi^/wedge(/xi)+/frac{D_d D_{ds}}{D_s}/xi _0^{-2} /phi_m^/wedge(/eta)=/frac{1}{2}/left| x-y /right|^2-/psi(x)+/phi_m(y)……(29)
其中无量纲的引力势 ψ(x)满足:
▽^2_xψ =/frac{2/sum}{/sum_{cr}}……(30)
运用上面的定义,放大因子可以改写成:
F(w, y) =/frac{w}{2/pi i}/int d^2x exp[iwT(x, y)]……(31)
对于轴对称的透镜模型, 上式可以进一步简化为:
F(w, y) = − iwe^{/frac{iwy^2}{2}}/int_{0}^{/infty}dxxJ_0(wxy)· exp /left[iw /left( /frac{1}{2}x^2 -ψ(x) + ϕ_m(y)/right) /right]……(32)
其中 J_0 是0阶贝塞尔函数.因为被积函数高速振荡,式(32)计算起来是十分耗时的.
以点质量透镜模型为例,展示放大因子结果.对于点透镜,面密度可以表示为 Σ(ξ) = M_Lδ^2 (ξ), M_L是透镜体的质量. 归一化常数采用爱因斯坦半径, 即 ξ_0 = (/frac{4M_LD_dD_{ds}}{D_s})^{/frac{1}{2}} ,而且无量纲的引力势为 ψ(x) = ln x.所以,式(32)可以积分得到解析解:
F(w, y) = exp/left[ /frac{/pi w}{4}+i/frac{w}{2}/left/{ ln/left( /frac{w}{2} /right)-2ϕ_m(y) /right/} /right]/times/Gamma/left( 1-/frac{i}{2}w /right) / _1 F_1/left( /frac{i}{2}w, 1;/frac{i}{2}wy^2 /right)……(33)
其中 w = 4M_{Lz}w, M_{Lz} = M_L(1+z_L); ϕm(y) = (x_m −y)^ 2 /2− ln x_m , x_m = (y + /sqrt{y^ 2 + 4/2} ) 而且 _1F_1 是合流超几何函数. 如文献[81]图2所示, 展示的是对于点质量模型在不同源的位置y处的放大因子 |F| , 当 w /leq1 时, 衍射效应导致放大因子很接近于1,也就是说当波长比透镜体的爱因斯坦半径大时,引力波可以通过衍射原理绕过透镜体.当 w /geq 1 时, |F| 会逐渐收敛到几何光学近似. 如文献[81]图2所示, 曲线表示点透镜的放大因子 |F| 随角频率 w(= 8πM_{Lz} f) 的变化.不同曲线表示在源的不同位置上放大因子的变化.
根据放大因子 F 的定义, 假设被引力波探测器探测到且没被透镜化的波形为 /tilde{h}_{ +,×},则经过放大作用后的波形可以写成: /tilde{h}_{+,×}^L(f)= F(f)/tilde{h}_{+,×}(f)……(34)
由于引力透镜的波动光学效应会在引力波上产生比较明显的特征信号(与频率相关的扰动),所以原则上可以通过模板匹配参数估计的方法得到透镜体的信息(比如说透镜体的质量、靶参数等).换一个角度,如果使用没有考虑透镜波动效应的引力波模板来对引力波信号做参数估计,得到的引力波参数会存在一定的偏差,所以研究引力波的波动光学效应是一件十分必要的事情. 在AdvLIGO/Virgo频段范围内,能产生明显的波动光学效应的引力透镜质量应该在 10^2M_⊙– 10^5M_⊙ 之间. Christian 等人预测 aLIGO/Virgo 探测器对于信噪比大于30的引力波事例,最小可以探测到 30M_⊙ 透镜产生的信号,对于第三代探测器而言,由于其探测器灵敏度大幅度提升,所以可以分辨出由 1M_⊙ 天体产生的透镜效应.目前分别在 O1+O2+O3a 探测到的引力波事例中对透镜信号做了初步的寻找,他们假设了产生引力透镜的透镜体为一个孤立的点源,在这种情况下衍射积分可以通过解析办法求解出来.但是目前还没有找到一个置信度比较高的事例.除此之外,引力透镜的波动光学效应也为中等质量黑洞以及暗物质晕及其子结构提供了一个新的探测手段.
4 光度距离空间畸变效应
双黑洞、双中子星以及中子星-黑洞并合产生引力波事件的发现为我们更好地理解宇宙打开了一扇新窗户,同时在天文学许多不同领域都有巨大的发展潜力.其中最为重要的应用便是将引力波事件作为标准汽笛,测量宇宙学距离和哈勃参数;这一手段虽不需要传统方法的校准,但却需要光谱示踪技术、电磁对应体以及引力波信号同外部星系观测的互相关来确定引力波源红移信息.那么,我们能否从引力波观测中获取有用的宇宙学信息来代替红移呢?未来的引力波探测实验,例如 Einstein/ Telescope (ET) 和 DECIGO ,将会探测到每年数十万个引力波事件,且光度距离可 以作为径向坐标来被直接测量而不需要额外的红移信息. 因此,人们提出将引力波事件作为光度距离空间中的宇宙大尺度结构的示踪者方法;这本质上与星系红移巡天做法相同.最近 Libanore 等人对使用引力波并合事件作为宇宙大尺度结构示踪体这一方法进行了阐述, 并计算了未来引力波并合事件实验能在多大程度上限制宇宙学参数以及对引力波事件分布的统计属性. 这里他们只考虑了双星并合所产生的的引力波事件,仅包含双中子星系统、双黑洞系统和中子星-黑洞系统.
星系巡天与引力波观测的主要区别在于,前者是在红移空间中刻画星系的三维分布,而后者是在光度距离空间描述. 值得注意的是,引力波探测器所探测到的波源的光度距离与真实的光度距离存在偏差,亦称之光度畸变效应.导致这一偏差的原因有很多,我们在这里主要讨论引力波源与观测者的相对运动,也就是引力波源的本动速度.在了解光度距离畸变效应之前,先认识红移畸变效应[91]:星系红移巡天中,星系本动速度会给观测到的红移附加一个额外的视向效应, 这导致根据观测红移推算出来的星系距离与宇宙学红移对应的真实距离存在偏差.一般来讲,在平坦宇宙中,星系的共动距离:
r_{cov} (z) =/frac{1}{H_0}/int_{0}^{z}/frac{dz}{/sqrt{Ω_Λ + Ω_m (1 + z)^3}}……(35)
其中 Ω_m 和 Ω_/Lambda 分别表示物质密度参数和能量密度参数.我们观测到的星系红移 z_{obs} 与宇宙学红移 z_{cos} 存在出入, z_{obs} = z_{cos} + z_{pec}……(36)
其中 z_{pec} 是沿视线方向的本动速度 v_{pec} 引起的引力红移.由于本动速度的存在,观测红移对应的距离并不是星系所处哈勃流的反映,存在偏差,即红移空间的星系分布存在扭曲畸变现象,称为红移畸变效应.
与红移畸变效应机理相同,光度距离畸变效应也是因为波源本动速度等因素(这里仅考虑本动速度的存在).这致使所观测的光度距离与波源的真实光度距离存在偏差.下面对此进行分析,对于有对应宿主星系或电磁对应体的引力波波源,波源的观测流量 F 与固有光度 L 有如下关系(这对均匀或非均匀的宇宙都适用):
F (z) =/frac{L}{4/pi (1+z)^4}/frac{/delta /Omega _0}{/delta A_e}……(37)
其中δΩ_0是观测者在视线方向上对波源进行观测的立体角,δA_e是波源的固有面积.角直径距离 d_A=/sqrt{/frac{/delta /Omega _0}{/delta A_e}} 和光度距离 d_L = d_A (1 + z)^ 2 .在均匀宇宙中有:
/bar{F}(/bar{z})=/frac{L}{4/pi(1+/bar{z})^4[/bar{d}_A(/bar{z})]^2}……(38)// /bar{d}_A(/bar{z})= /frac{χ_e}{1 +/bar{z}}……(39)// χ_e = χ(/bar{z}) =/int_{0}^{/bar{z}}/frac{dz'}{H(z')}……(40)// /bar{d}_L(/bar{z})=/bar{d}_A(/bar{z})(1+/bar{z})^2……(41)
/bar{z} 是在均匀宇宙下的红移量, χ_e表示波源的共动距离, H 宇宙的哈勃常数.本动速度的存在,相当于在均匀宇宙下引入扰动.本动速度的扰动,会对观测量产生两类影响.第一个效应在红移方面:
1 + z = (1 + z) (1 + v_e · n − v_0 · n)……(42)
/nu_e 和 /nu_0 分别对应波源和观测者的本动速度, n是由观测者到波源的单位矢量.第二个效应是在角直径距离上,本动速度导致立体角变为 δΩ_0 (1 − 2v_0 · n),使得:
dA (z) = /bar{d}A(/bar{z}) (1 + v_0· n)……(43)
故观测所得的光度距离为(考虑观测者速度 v_0 = 0 )
d^{obs}_{L}=/bar{d}_L(/bar{z}) (1+2v_e· n)……(44)
其中 /bar{d}_L 表示无扰动背景宇宙下的光度距离.上式就是平宇宙下的光度畸变效应.
平面平行近似知 v_e · n = /mu v_e ,此时共动距离有: χ(/bar{d}^{obs}_L)=d(/bar{d}_L)+/left[ /frac{2 /bar{d}_L}{1+z}/left( /frac{/partial d_L}{/partial z} /right)^{-1} /right]/frac{/mu /nu}{H(z)}……(46)
定义光度畸变效应的增长因子 f_{d_L} = /frac{2 /bar{d}_L}{1+z}/left( /frac{/partial /bar{d}_L}{/partial z} /right)^{-1};光度距离空间下的线性扰动理论有:
θ (k) = −f_{D_L}fδ_g (k)……(47)
代入后有: P_{gg}^{LDS}=P_{gg}/left( 1+/frac{f_L}{b}/mu ^2 /right)^2……(48)
其中, f_L = f_{D_L} f ,若令 β = f_L /b ,可整理为: P_{gg}^{LDS}=P_{gg}/left( 1+/beta/mu ^2 /right)^2……(49)
Libanore等人[90]使用爱因斯坦-玻尔兹曼方程包 CAMB 对角功率谱进行计算,考虑红移、星系形成率和宿主星系的质量等因素,将EAGLE模拟中的星系目录与恒星星族合成代码MOBSE相结合,从而确定双黑洞 (DBH)/双中子星 (DNS) 和黑洞-中子星 (BHNS) 并合率分布.模拟中选取共动尺度为 25Mpc 的方盒,对其 进行22次红移拍照,并将宿主星系质量和恒星形成率分为15个区间.对每一个确定的红移,将宿主星系质量和恒星形成率求和,从而得到只依赖于红移的并合分布(这里考虑到双黑洞和双中子星不同类型,从而进行不同预测分布,而黑洞-中子星系统居于两者中间). 最后将并合数目分布转换为单位红移和单位立体角内的分布,它们满足高斯偏斜分布:
/frac{d^2N_m}{dzd/Omega}=2/left[ Aexp/left( -/frac{(z − /bar{z})}{2/sigma^2} /right) /right]/left[ /frac{1}{2} /left( 1+erf/left( /frac{/alpha (z-/bar{z})}{/sigma^2 /sqrt{2}} /right) /right) /right]……(50)
双黑洞系统有 A = 10^{3.22},/bar{z }= 0.37, σ ^2 = 1, 42,α = 5.48;双中子星系统A = 10^{3.07},/bar{z} = 0.19 , σ ^2 = 0.15, α = 0.8.基于标准 HOD 方法,双星并合偏差被假设为线性 b_m = Az + B 关系.其中对于双黑洞系统 A = 0.7, B = 1.88 ;双中子星系 A = 0.76 , B = 1.87.未来的观测将根据光度距离和天空位置来确定并合分布, 而这些 观测数据可以约束宇宙学和并合偏差参数.考虑到更多的源,更精准的距离测量和更优越的天空定位等因素, Libanore 等人将 Fisher 矩阵应用于并合偏差的角功率谱中,预测了 ET 对宇宙学和并合偏差参数的限制能力.角功率谱作为观测源间相关函数的谐波变换,其标准形式为:
C_l(z_i,z_j)= 4π/int d/ lnk/Delta^W_{N,L}(z_i,k)/Delta^W_{N,L}(z_j,k)P (k) ……(51)
其中P (k)为原初功率谱,转移函数 /Delta^W_{N,L}(z_i,k)=/int_{z_i^{min}}^{z_i^{max}}dz/ p (z) W (z_i ,z)∆_l (z, k).这里 z_i = z − δz , z_j = z + δz,z表示每个红移区间的中间值, W (z_i ,z)称为窗口函数,表示每个红移区间中的关于红移的权重, p(z) 表示单位红移和立体角内的背景源分布,且 p(z) 正比于/frac{d^2N_m}{dzd/Omega}.我们直接观测得到的是光度距离,所以需将 D_L 转换为 z(D_L) 才能进行角功率谱的研究.在这里双黑洞系统、双中子星系统源的红移分布如文献[90]中图5所示.
F_{αβ }=/sum_{l_{min}}^{l_{max}}{/frac{2l+1}{2}f_{sky}}/sum_{D_{L,i}D_{L,j}}{/left[ ∂_αC^{i j}_lΓ^{−1}_{l,i j} (∂_βC^{i j}_l)Γ^{−1}_{l,i j} /right]}……(52)
C_l 为角功率谱矩阵, C ^{i j}_ l = C_l ( z_i ,z_j ) ,宇宙学和并合偏差参数具体有 Θ = [H_0, Ω_ch ^2 , ω_0, ω_a, b ^0 _m, . . . , b ^n_ m] ,不同的并合类型分别由 b ^0 _m, . . . , b ^n_ m 表示. 在更高天空定位精度以及更多源的情况下,每个宇宙学参数的误差明显下降,即约束能力变强.
未来引力波探测实验会提供更高红移 (z > 2) 的数据.如文献[90]中的图7,显示了未来的引力波探测器对于双中子星和双黑洞偏差参数的限制能力.
5 多信使天文学和引力波的宇宙学应用
2017年8月17日, LVC 宣布探测到双中子星并合产生的引力波暴 GW170817 .不久之后,伽马射线、X射线、紫外线、可见光和射电波段都分别观测到了引力波暴的电磁对应体. GW170817 的发现标志着多信使引力波天文学时代的到来.本节将简要介绍一下目前地基引力波探测器的多信使天文学现状以及未来空间引力波探测器可能探测到多信使天文学现象以及这些观测在宇宙学上的应用.
5.1 多信使天文学
对于双中子星并合事件,在引力波爆发的同时或者之后会伴随较多的电磁辐射.大量的中子星物质会在中子星并合时抛射到宇宙空间中的各个方向.在抛射物质中,当原子核再吸收中子时会形成不稳定的同位素而迅速衰变.如果吸收中子的速度快于衰变的速度,那么就能形成稳定的重元素,这就是 r-process .然后,光学和近红外辐射在放射性重元素衰变时产生.该爆发过程被称为千新星 (Kilonova).由于千新星的光学和近红外辐射近似具有各向同性的特征, 故当红移较低时,可以通过光学认证来获得该事件的红移信息.但是以目前的光学探测能力,很难观测到 z > 0.1 的千新星,所以认为主要的电磁对应体是短伽马暴及其余晖,其红移信息来源于光学余晖原子谱线的观测中.但是一般认为只有一小部分的引力波事件对应的短伽马暴会被观测到,是因为短伽马暴的成束结构、持续时间短以及光学余晖存在测量难度等.
2017年8月17日, LIGO和Virgo观测到了一次双中子星并合事件 GW170817 ,同时在电磁波段望远镜也观测到了这一事件的电磁对应体(图5 从上至下, 第一幅图是由Fermi卫星的伽马射电暴检测器(GBM)在10–50 keV能段上观测短伽马暴GRB170817A的光变曲线.第二幅图同样是由Fermi卫星的伽马射电暴检测器(GBM)在50–300 keV能段上观测短伽马暴GRB170817A的光变曲线.第三幅图是由另一个卫星INTEGRAL的SPIACS在高于100keV能段上观测短伽马暴GRB170817A的光变曲线.第四幅图是引力波事件GW170817的时频图.可以看到在 双星并合之后大约1.7s,可以观测到一个短伽马暴的产生.). 这类引力波的电磁对应体是极其丰富的, 覆盖范围从 γ 波段到射电波段.在双星并合大约 1.74 s 后, Fermi卫星的伽马射电暴检测器(Gamma-Ray Burst Monitor)在同一个天区探测到短伽马暴 GRB170817A ,可以认证双中子星并合是短伽马暴的起源之一.随后世界上许多科研团队利用地面和空间的望远镜对引力波定位区域进行观测,10 h后分别在光学、近红外和紫外波段发现了其电磁对应体 SSS17a/AT2017gfo . 在第9和16天后X射线爆发及射电爆发被先后发现.通过光学认证,这一双中子星并合事件发生在 NGC993 的星系中,可以测出红移.对于 GW170817 事件的多信使观测,该引力波事件可以作为标准汽笛限制宇宙学,例如哈勃参数.
5.2 宇宙学应用——亮汽笛
引力波提供了一种宇宙测距的新方法:通过对引力波波形的分析,不借助其他测量方法的校准,就能够独立地测量波源的光度距离,因此可以避免由其他测距方法造成的系统误差.同时,引力波事件如果能通过其他观测手段确定了引力波源的红移,那么可以称为"亮汽笛",成为限制各种宇宙学参数的新途径,包括哈勃参数、宇宙各组分的能量密度以及暗能量状态参数等.需要指出的是,目前测量哈勃参数的方法大致分为两类.一类是用低红移的 Ia 型超新星数据建立距离阶梯,2019年, Riess等人通过分析超新星的数据得到哈勃参数的限制为 H_0 = 74.03^{+1.42}_{−1.42} / km/ s^{−1} Mpc^{−1} ,对哈勃参数的限制精度达到2%.该方法能够在不依赖宇宙学模型的情况下,通过对哈勃定律的直接拟合来测量哈勃参数,但是该方法也存在着各种系统误差,如距离零点的校准问题.另外一类是假定标准宇宙学模型 ΛCDM ,来自于高 红移的宇宙微波背景辐射(CMB)同样能给出哈勃参数的限制,最近Planck观测数据得到的哈勃参数的限制为 H_0 = 67.4^{+0.5}_{−0.5}/ km/ s^{−1} Mpc^{−1}.两者结果显示出严重的不一致性(大于4个标准偏差),该问题被称为"哈勃危机". 该问题的重要意义不仅在于对哈勃参数本身测量精度的高低,更在于这种不一致性背后的根源.引力波作为观测宇宙的新窗口,可以对解决哈勃常数危机提供全新的思路.引力波信号相对于传统的电磁波信号而言,具有更为纯净的产生和校准机制,是测量哈勃常数的理想方式.如果引力波的结果与来自早期宇宙的CMB测量结果一致,说明目前对距离阶梯系统误差的理解存在偏差,标准宇宙学模型 ΛCDM 依旧是有效的.反之,引力波的结果与距离阶梯的结果一致,可能需要修改 ΛCDM 宇宙学模型或者存在未知的新物理.
为了确定引力波源的距离, Schutz 在1986年就发现可以通过观测引力波波形来独立测量.该方法的基本原理是,引力波振幅是依赖于波源的啁啾质量和光度距离,然而通过观测引力波信号的相位,能够比较精确地测量得到引力波源的质量,从而只要同时测到波源的振幅和相位是可以得到波源的光度距离的.一个引力波探测器对引力波信号的响应可以表示为
h (t) = F_+ (θ, ϕ, ψ; t) h_+ (t) + F_× (θ, ϕ, ψ; t) h_× (t)……(53)
其中 h_{+,×} 是引力波的两个极化模式. F_{+,×} 是探测器的响应函数,其主要依赖于引力波源的方位角 (θ, ϕ) 和极化 角 ψ .
考虑一个无自旋的致密双星并合系统,双星质量分别为 m_1 和 m_2 , M = m_1 +m_2 是总质量, η = m_1m_2/M^2 是质量比,定义观测啁啾质量为 M_c = (1 + z)η^{ 3/5}M . 在旋近阶段,采用后牛顿近似的方法可以很好地描述引力辐射,然后采用稳相近似对引力波波形进行傅里叶变换,其傅里叶形式表示为:
/tilde{h}/left( f /right)=-/left( /frac{5/pi}{24} /right)^{1/2}/left( /frac{GM_c}{c^3} /right)/left( /frac{GM_c}{c^2D_{eff}} /right)·/left( /frac{GM_c}{c^3} /pi f/right)^{-7/6}e^{−iΨ(f ;M_c,/eta)}……(54) ,
其中有效光度距离 D_{eff} 可以表示为:
D_{eff} = d_L/left[ F_+^2/left( /frac{1+cos^2 ι}{2} /right)^2+F_/times^2 cos^2ι /right]^{-1/2}……(55) ,
其中 ι 是轨道角动量相对视线方向的倾角.相位 Ψ 除了依赖质量以外,还依赖并合的时间 t_c 和并合时的相位 ϕ_c .
从公式中可以看出,引力波波形依赖9个独立参数 (M_c, η, d_L, θ, ϕ, ι, t_c, ϕ_c, ψ) , 所以通过贝叶斯分析, 可以对参数进行限制, 边缘化其他参数从而得到对光度距离 d_L 的限制.但是这9个参数之间存在耦合, 尤其是光度距离 d_L 和倾角 ι , 如果可以通过其他方法确定倾角, 可以大幅度提高对光度距离的限制.
另一方面, 作为亮汽笛, 需要能够独立测量到引力波源的红移, 但是单独对引力波的观测是难以得到红移信息的, 是因为致密双星并合的引力波波形不直接依赖红移, 而是包含在观测啁啾质量中, 也就是红移与波源的质量是完全简并的. 一般来说, 红移信息是观测引力波的电磁对应体或者寻找宿主星系得到的. 例如对于双中子星并合或者中子星-黑洞并合事例, 在引力波爆发的同时伴随大量的电磁辐射, 对于红移较低的源的电磁辐射完全可以被目前或者未来的望远镜观测到, 从而可以确定其红移.
引力波事件 GW170817 以及其宿主星系的观测能够分别得到光度距离和红移信息, 是首次利用"亮汽笛"来对哈勃参数进行限制, 检验了该方法的可靠性. 以 GW170817 事件为例来介绍亮汽笛方法对哈勃参数的限制. 通过引力波探测器观测到引力波数据为 x_{GW} , 同时通过光学认证也发现并确认了其宿主星系 NGC4993 , 可以观测到其退行速度 v_r 和星系本动速度场 ⟨v_p⟩ , 这些观测在统计上相互独立, 那么联合似然函数可以写成 :
p(x_{GW}, v_r,⟨v_p⟩ | d, cosι, v_p, H_0)=p(x_{GW} | d, cosι)p(v_r| d, v_p, H_0)p(⟨v_p⟩ | v_p)……(56)
引力波的似然函数 p(x_{GW }| d, cosι) 是边缘化其他参数得到的:
p(x_{GW} | d, cosι) =∫p(x_{GW} | d, cosι, λ)p(λ)dλ……(57) ,
其中 λ 是包含引力波的其他参数, p(λ) 表示对应的先验. 假设退行速度是高斯分布的, 似然函数可以写成 :
p(v_r| d, v_p, H_0) = N[v_p + H_0d, σ^2_{v_r}](v_r)……(58) .
同样假设本动速度是高斯的, 似然函数可以写成:
p(⟨v_p⟩ | v_p) = N[v_p, σ^2_{v_p}](⟨v_p⟩)……(59) .
所以后验分布可以得到:
p(H_0, d, cosι, v_p | x_{GW}, v_r,⟨v_p⟩)∝/frac{p(H_0)}{N_s(H_0)}p(x_{GW}| d, cosι)p(v_r| d, v_p, H_0)× p(⟨v_p⟩ | v_p)p(d)p(v_p)p(cosι)……(60)
其中 p(H_0) , p(d) , p(v_p) , p(cosι) 是参数的先验. 我们一般假设 p(d) ∝ d^ 2 , p(H_0) ∝ 1/H0 , v_p 在 [−1000, 1000] km/ s^{−1} 均匀分布而且 cosι 在 [−1, 1] 均匀分布. 在式中, N_s(H_0) 是描述了选择效应, 因为探测器的敏感频段是有限的, 只能观测到高于一定信噪比的引力波或电磁信号. 所以归一化系数 N_s(H_0) 可以写成:
N_s(H_0)=∫_{detectable}dλ/ dd/ dv_p/ d cosι/ dx_{GW}dv_rd⟨v_p⟩×[p(x_{GW }| d, cosι, λ)p(v_r| d, v_p, H_0)× p(⟨v_p⟩ |v_p)p(λ)p(d)p(v_p)p(cosι)]……(61)
将式中 d, v_p, cosι 边缘化, 就可以得到哈勃参数的后验分布:
p(H_0 | x_{GW}, v_r,⟨v_p⟩)∝ p(H_0)∫dd/ dv_p/ d cosι× p(x_{GW} | d, cosι)p(v_r| d, v_p, H_0)× p(⟨v_p⟩ | v_p)p(d)p(v_p)p(cosι)……(62)
LVC 对引力波事件 GW170817 和其宿主星系 NGC4993 进行分析, 最后对哈勃参数进行限制, 68.3%置信区间为 70.0 ^{+12.0}_{ −8.0} km/ s^{−1 }Mpc^{−1} . 如文献[96]中的图1显示了 GW170817 事件对 H_0 的限制. 绿色阴影是来自 Planck 团队在2016年给出对 H_0 的 1σ 和 2σ 的限制结果.橙色阴影是来自 SH0ES 团队在2016年给出对 H_0 的 1σ 和 2σ 的限制结果. 垂直的虚线分别是引力波 GW170817 限制 H_0 的 1σ 和 2σ 的置信区间. 该结果与目前的 CMB 和 SNIa 的测量结果相比较, 首次显示引力波源作为亮汽笛来研究宇宙学的可能性.
5.3 宇宙学应用——暗汽笛
然而, 不是所有的引力波事件都能观测到电磁对应体, 比如我们没有观测到一些双中子星并合事件的电磁对应体, 或是对于恒星级双黑洞并合事件可能不会有电磁对应体. 通常将没有观测到电磁对应体的引力波事件称之为暗汽笛. 对于这类引力波事件, 可以采用统计的方式, 仅仅通过引力波观测给出定位区域, 结合星系巡天数据找出在该区域的星系或星系团. 在定位区域内星系或星系团可能会有成千上万, 如果通过光学观测都能够确定每一个星系的红移, 那么对这些星系红移的分析, 可以估计出引力波源红移的概率分布. 对暗汽笛的观测得到的光度距离, 结合这些潜在的宿主星系提供的红移分布, 暗汽笛同样能够去限制宇宙学.
我们简单地介绍一下暗汽笛在贝叶斯框架下估计哈勃参数的后验分布. 对于一次引力波事件, 由引力波数据 x_{GW} 和电磁对应体数据 x_{EM} 限制哈勃参数的后验分布可以写成:
p(H_0 | x_{GW}, x_{EM}) =/frac{p_0(H_0)}{β(H_0)}/int p(x_{GW} | D^/wedge_L(z, H_0), Ω)· p(x_{EM} |z, Ω)p_0(z, Ω)dΩdz……(63)
其中 D^/wedge_L(z, H_0) 是指定 H_0 的情况下引力波源在红移 z 处的光度距离, v 是引力波源的空间位置, β(H_0) 是归一化因子, p_0(H_0) 是哈勃参数的先验. 引力波的似然函数 p(x_{GW} | D_L, Ω) 是表示引力波数据中存在致密双星并 合事件的概率, 其并合事件依赖光度距离 D_L 和方位角 Ω 两个参数, 其他参数被边缘化. 同时, 电磁对应体的似然函数 p(x_{EM} |z, Ω) 表示电磁对应体数据中存在电磁信号的概率. 对于没有观测电磁对应体或者没有认证出宿主星系的情况, 电磁数据并没有提供信息, 令 p(x_{EM} |z, Ω) 等于一个参数,
p(x_{EM} |z, Ω)∝ 1 .. . .. .(64) ,
在这种缺少电磁对应体的情况, 利用潜在的宿主星系构建的星表来提供红移信息, 通过先验中 p_0(z, Ω) 表现出来. 如果认为星表不是完整的, 先验可以写成:
p_0(z, Ω) = f p_{cat}(z, Ω) + (1 − f)p_{miss}(z, Ω)……(65) ,
其中 p_{cat} 是星表中已知星系的分布,
p_{cat}(z, Ω) =/frac{1}{N_{gal}}/sum_{i}^{N_{gal}}{N(/bar{z}^i, σ^i_z;z)N(/bar{Ω}_i, σ^i_Ω; Ω)}……(66) ,
/bar{z}_i , /bar{Ω}_ i 是星系的红移和空间坐标, N(/mu, σ; x) 表示参数 x 服从期望为 /mu 和标准差为 σ 的高斯分布.考虑本动速度的影响 , 假设星系的退行速度是满足高斯分布并且标准差为 cσz . 另外 , 忽略星系空间坐标的误差, 可以近似 N(/bar{Ω} , σ_Ω; Ω) = δ(/bar{Ω} − Ω) . 我们认为每个星系平权地都可能是引力波真实的宿主星系, 所以权重的系数记为 1/N_{gal} . p_{miss} 是星表中缺失的星系的分布. 假设在大尺度上, 星系在共动体积内均匀分布而且每个星系是平权, 缺失的星系分布可以写成:
p_{miss}(z, Ω) =/frac{[1 − P_{complete}(z)]p_{vol}(z, Ω)}{1-f}……(67)
其中 p_{vol} 表示宇宙尺度上是均匀且各向同性的, P_{complete} 是星表中星系在红移z处的概率. 同时, 完整度 f 可以写成:
f=/int_{z_{min}}^{z_{max}}P_{complete}(z)p_{vol}(z, Ω)dzdΩ……(68)
最后将式 (64)–(68) 带入式 (63) , 就能得到对哈勃参数的限制.
根据以上暗汽笛的思路, 许多科学团队开展了引力波对宇宙学参数限制的研究. 例如, 文献[105]系统地分析了第二代地面引力波探测器对哈勃参数的限制. 在文章中同时模拟了双中子星并合和双黑洞并合两类引力波事件, 考虑几种情况: 有观测到电磁对应体、没有观测到电磁对应体和虽然有电磁对应体的观测但是没有明确认证出宿主星系. 对于后面2种情况, 文献[105]是采用了一个 “Pencil-Beam” 的策略来包括所有可能的宿主星系. 最后, 如文献[105]中图2所示, 考虑到双中子星并合和(恒星级)双黑洞并合的事件率, 认为通过第二代探测器联网观测5年, 有希 望将哈勃参数的限制提高到2%的精度. 它是对未来地面引力波探测器联网观测 BNS 和 BBH 对 H_0 的限制精 度的预言. 绿色阴影区域表示有电磁对应体的BNS事件率的不确定性导致对 H_0 的限制结果. 蓝线、红线和黄线是对应没有电磁对应体的情况, 采用统计的方法对 H_0 的限制结果.
Soares-Santos 等人对双黑洞并合事件 GW170814 进行分析, 采用暗汽笛的方法, 根据 LIGO/ Virgo 对引力波的探测, 90%置信度的天区范围为 61.66/ deg^2 , 光度距离为 540^{+130}_ {−210} Mpc , 如果哈勃参数的先验取为 ([20, 140] km/ s^{−1} Mpc^{−1} ) , 如文献[112]中图1显示了在 DES 星表中可能的对应于 GW170817 事件的宿主星系的红移分布; 光度距离的90%置信区间转化到红移, 对应的范围为 (0.02 < z < 0.26) .结合 Dark/ Energy/ Survey (DES) 的星表能给出可能的宿主星系的红移分布, 在90%的置信区间定位区域内大约有77092个星系. 最后如文献[112]中图2所示, GW170814 事件 对哈勃参数的限制为 H_0 = 75^{+40 }_{−32} km/ s^{−1} Mpc^{−1} . 红色曲线表示 H_0 的后验分布, 垂直的红色实线表示最大值, 红色虚线表示68%的置信区间, 红色阴影区域表示定位区域90%–99.7%概率变化引起的对后验分布的影响. 灰色区域表示 GW170817 事件用亮汽笛的方法对 H_0 的限制结果. 蓝紫色区域分别是 Planck 团队在2018年和 SH0ES 团队在2018年对 H_0 的限制结果.
6 总结和展望
在不久的未来, 中国科学院发起的空间引力波天文台——"太极计划" (Taiji)与欧盟和美国联合研制中的 LISA 空间引力波天文台将均以绕日轨道运行, 两者计划在2035年左右发射升空, 将在毫赫兹频段以极高的精度测量来自于超大质量黑洞双星等天体源所发射的引力波信号. 有研究表明, 二者联网观测可以极大地提高引力波信号源的空间定位能力, 非常有利于寻找宿主星系, 从而提高哈勃参数的限制. 因此, 研究显示[122], 通过对宇宙学尺度上的超大质量双黑洞系统产生的引力波波形信号的分析, 利用不依赖于引力波电磁对应体的"暗汽笛"方法, 针对" LISA- 太极"引力波联合探测网络限制哈勃常数能力做了细致的分析. 研究发现,"LISA-太极"引力波联网观测由于能够大幅度地提高引力波事例的空间定位能力, 可以大大提高对哈勃常数的限制结果. 文献[122]还预言了针对不同黑洞形成模型, 双黑洞并合事件分别由联网观测和太极单独观测1, 3, 5年的平均事件率. 如图7(蓝色、紫色和青色直方图表示3种黑洞模型 PopIII, Q3nod 和 Q3d 分别被“LISA-太极”联网观测的情况下的平均事件率. 绿色、橙色和黄色直方图表示同样3种黑洞模型 PopIII, Q3nod 和 Q3d 分别被太极单独观测的情况下的平均事件率. 其中无阴影的直方图表示的是对哈勃参数限制精度在1%以内的事件率, 红色的误差棒是假设泊松分布, 对哈勃参数限制精度在1%以内的事件率的95%的置信区间. 有阴影的直方图则是限制精度小于0.5%的事件率.)所示, 观测时间为5年, 对于不考虑时间延迟的重黑洞种子模型, 哈勃参数限制精度能达到1%的平均事件率为0.9, 在95%置信区间内, 事件率能超过1, 所以相信在未来联网观测5年有希望至少找到一个限制精度优于1%的事例, 这对解决"哈勃危机"具有重要意义. 与之类似的另一项中国空间引力波探测计划"天琴", 也可以通过与 LISA 的联测达到一定程度上的对于哈勃参数等的测量精度提升.
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