[中国科学史]宋元数学的大起大落

（选自《大自然》1983年第一期。作者璧沧）

这篇文章回顾了我国科技史上的一个篇章。虽然谈的是数学，但从历史的角度，提出了一个应该如何对待知识分子的问题。

十三世纪的中国，历史上正是南宋金元时期。此时在南方是“直把杭州作汴州”的偏安小朝廷，而北方则是面临着元军高压，岌岌可危的局面。然而在历史的长河中，这个阶段却正是中国古代数学史上的黄金时期。在很多方面，中国学者的工作在世界上都处于遥遥领先的地位。重温这段历史，对于某些认为“外国的月亮比中国的圆”的人来说，是有教育作用的；而这个黄金时期的突然消失，也是值得我们认真思考的一个问题。

数学领域的群星灿烂

十三世纪在中国的数学领域，的确出现过一组灿烂的群星。他们给中国数学史乃至世界数学史写下了光辉的一页。至今仍然闪烁着不可磨灭的光芒。下面是一张简要的“星图”：

1247年，南宋的秦九韶写出了他的代表作《数书九章》。他不但独立地提出了一个三角形面积公式“三斜求积法”，改进了传统的一次方程组的解法；并且记下了一些极为重要的贡献。其中之一是高次方程的数值解法，即正负开方术。这与现代通常所谓霍纳方法基本上是一致的。而霍纳方法在欧洲最早是由鲁菲尼在1802年提出的，这比秦九韶足足迟了555年。秦九韶的另一个更为重要的成就，是著名的大衍求一术，这是一类关于一次同余式的理论，在数学史上占据了光辉的一页，直到现在，国外的专著中还特称之为“中国剩余定理”，以至于一些外国学者认为，秦九韶是“他的民族、他的时代以至一切时期的最伟大的数学家之一”。

1248年，在金朝当过钧州知事、蒙古灭金后隐居在崞山的李冶，写出了一本与《数书九章》同等重要的著作《测圆海镜》。李冶写这本书确实是下了很大功夫的，他也很以此自诩，临死前曾说过：“测圆海镜一书，虽九九小数，吾尝精力致思焉，后世必有知之者。”事实的确如此。几百年后的清代学者重新探讨此书时，就由衷地称赞《测圆海镜》是“中华数学之宝书”。这部著作使我们对当时中国的数学面貌、特别是对天元术有一个比较系统的了解。所谓天元术，用现代的话来说，就是设未知数列方程解应用问题。而在李冶的书中，则反映了中国古代几何学研究的特色，走代数与几何综合的道路。

紧随秦九韶和李冶之后，在南方出现了另一位出色的数学家杨辉。1261年至1275年间，他先后写出了《详解九章算法》、《田亩比类乘除捷法》等五种数学专著。在杨辉的著作中，最重要的特点是集中和发展了前辈数学家的数学成果，其中最著名的有：一般的二次方程解法乃至高次方程的解法；乘方求廉图；不同形状的堆垛公式等等，这些成果比欧洲要早几百年。

在北方，时代略后于杨辉的郭守敬是数学史上另一位重要的名家。当然他主要的成就在于水利、天文、历法方面，但著名的《授时历》也反映了他在数学方面的成就，其中主要的有平立定三插法，即所谓三次内插法。郭守敬明确给出了三次内插公式，这比起隋朝天文学者刘焯编撰《皇极历》所用的二次内插法是一个很大的进步。而郭守敬所用的公式，在西欧，1670年才开始为格里高利所用，晚了将近四个世纪。郭守敬还制作了简仪、浑仪等一系列比前代更为精密的天文测量仪器。特别是简仪，一些学者认为它实际上是简化了的黄赤道转换仪，并且坚持使用先进的赤道坐标系，也就是现代天文望远镜广泛使用的坐标系。而在欧洲，直到16世纪的天文学家第谷才开始采用赤道坐标系。正是由于郭守敬在上述各方面的成就，才使得1280年编成的《授时历》的精密程度超越前人而一直用了384年，成为中国历史上使用时间最长的一部历法。

宋元数学高峰的最后一位代表人物是朱世杰。他的代表作是刊于1299年的《算学启蒙》和刊于1303年的《四元玉鉴》。特别是四元玉鉴，反映了中国数学的一个新高峰。首先，朱世杰把从贾宪、秦九韶、李冶以来关于高次方程的解法，从一元推到了多元（四元术），即四元高次方程组。国外关于这方面的讨论则是1760年代以后的事情了。而且朱世杰还以四元术为工具，进一步讨论了招差术。关于高阶等差级数的研究，当时是居于世界领先地位的。

从1247年到1303年，从秦九韶到朱世杰，这就是有人推崇为“六十年间的五位大家”。我们现在还不了解他们彼此间有没有学术上的联系，但他们当中的任何一个人都不是孤立的存在。秦九韶师从“隐君子”学习数学，李冶有他的“龙山三友”，等等……这实际上意味着宋元数学就像夏夜的繁星，而五大家则仅仅是众多星辰中的五颗明星。

星图为何突然消失？

喀斯特地区地上河的突然消失，人们知道这是因为岩溶地貌的缘故；但是十三世纪中国数学这一张灿烂的星图为何突然消失？这至今仍然令人费解。

它消失得这样突然、这样彻底，就像一场灾害性的天气突然降临，繁星闪烁的夜空突然变得伸手不见五指。1303年，朱世杰的《四元玉鉴》面世之后，中国数学史上就呈现了一个死气沉沉、停滞不前的局面。足足三百年的停顿，不，不仅仅是停顿，而且是倒退，倒退到后代数学家都读不懂前代数学家的著作。唐顺之、顾应祥这些明代中叶的知名学者，竟也看不懂《测圆海镜》，看不懂立天元一。顾应祥写《测圆海镜分类释术》时，竟然将李冶的数学精华天元术删去。历史的倒退到了何等惊人的地步！

历史倒退的原因何在？

关于这个大倒退的原因，有种种不同的说法。

有人归咎于明太祖开始的八股取士。这话有一定的道理。顾炎武说过，八股之害，甚于焚书。八股的流毒所至，造就了一大批范进式的知识分子，这确实是阻碍数学发展的一个重要原因。但是，以考试做官笼络人心的科举制度早在隋唐时候就开始了，而且直到清代也是八股取士，仍然出现了从梅文鼎到华蘅芳这一大批成就卓越的数学名家。可见儒家思想的统治，压制和妨碍了科学、技术、艺术，当然也包括数学的发展，应该说是自古如此，似乎不能作为宋元以后数学倒退的根本原因。

也有人归咎于中国古代数学本身所固有的缺陷。譬如“他们（指中国古代数学家）只注重具体数字，并阻碍他们去考虑抽象的概念”；“古代中国的数学中，最大的缺点是缺乏严格求证的思想”；“中国数学在许多方面是如此先进，但是中国数学家从未自发地发明任何记录公式的符号方法”。所有这些论点都可以考虑。但是似乎都不能作为十三世纪中国数学突然停滞并倒退的决定性原因。因为所有这些缺陷，有的是事物发展过程中必然出现的现象，也必然会随着事物的发展而逐渐克服，如关于逻辑论证的要求。有的的确可能阻碍事物的进一步发展，如平面上的筹算，恐怕很难处理四元以上的高次方程组，但不应该影响四元术的流传。然而我们所看到的事实是，四元玉鉴在明代失传了，大衍求一术也看不懂了……仅仅数学本身的缺陷是无法说明问题的。

关键在于对生产的破坏和对知识分子的压制

要寻找导致地上河消失的岩洞，只能在地上河的终点；要寻找宋元数学衰落的原因，也应该考查朱世杰、郭守敬他们所处的那个时代。我认为答案是明确的，主要在于元朝统治对生产的严重破坏，和对知识分子的压制。

关于前者，不用说蒙古统治者发动战争造成的残酷破坏了，就说说蒙古入主中原之后的一个史实吧。据《元史·耶律楚材传》记载，元太宗窝阔台的近臣别迭，曾经对大汗提出一个建议，要把中原的汉人全部驱逐，把汉人的农田变成蒙古人的牧场。幸好这个愚蠢的想法被耶律楚材劝阻了。落后民族以武力征服先进文明，对生产造成严重的破坏，在历史上都是极其惊人的。而这样自然就破坏了数学赖以发展的基础。事实上，现存的朱世杰、郭守敬之后的元代数学著作，如《丁巨算法》、《算法全能集》、《详明算法》、《通源算法》，其中除了《通源算法》涉及不定方程的不完备的解法外，其余都是很简单的算术习题，而这应该是和当时的经济基础相适应的。所以说数学的倒退只是经济倒退、政治倒退的一个反映。

关于后者，这里只举出一则野史的例子。据说元朝统治者把他们统治下的民众按照社会职业分为十等，所谓“一官二吏、三僧四道、五医六匠、七猎八娼、九儒十丐”。儒者，知识分子也，一下子降到了第九等。虽说这一则野史尚待考证，但由一个经济文化诸方面都比汉人落后得多的蒙古民族所统治的元朝社会轻视文化教育，轻视知识分子，却是驳不倒的事实。在这种条件下，知识分子还能干什么呢？哪里还有知识分子钻研“高等数学”的条件呢？明白了这一点，也就会明白，以朱世杰的高才绝学，也只能终生流落民间，当个数学老师混口饭吃。而他教学二十多年，他的学生当中并没有出现人才，这并不是朱世杰教学无方，而是那个时代不容许人才的出现。

说到这里，有人要问了：既然问题出在元朝的政治上，那为什么元代会出现郭守敬这样的一些名家呢？答案很简单，他们都是由宋入元或由金入元的学者，他们并不是元朝培养出来的人才。

学术的传承是一环扣一环的，只要有一环中断，就可能会导致学术的失传。从元代朱世杰的《四元玉鉴》到清代梅瑴成的《赤水遗珍》，中国数学的发展足足中断了五百年的事实，就是一场值得我们深思的历史悲剧。

本文由奇点天文作者上传并发布，奇点天文仅提供文章投稿展示，文章仅代表作者个人观点，不代表奇点天文立场。