宇宙有多大？

本网站的“科普书评”栏目介绍了由我国天体物理学家、科学院国家天文台林元章研究员和赵复垣主编的《我们的宇宙有多大》一书。书中对宇宙到底有多大，并没有给出答案，而是启发众多小读者们今后去探索。对于我们这些早就跨过了“小”读者时代的人，也仍然是一个很有趣的问题。下面我们以不同的路径来探索宇宙的大小。

一、从宇宙的层级估计宇宙的大小

根据目前我们的认知，太阳系是我们地球人探索宇宙的根据地，它位于银河系的一个旋臂上，像银河系这样的众多（大约为1000亿个）的星系又构成了一个更大的星系团，再由大约1000亿个星系团构成超星系团，最后大概由1000亿个超星系团就构成了宇宙。因此，在结构上从宇宙向下划分的层级为：宇宙→超星系团→星系团→恒星系（银河系）→恒星（太阳系）→行星（地球）→卫星（月亮）。

对于太阳系的许多天体数据我们是熟悉的。月亮的运动速度是每秒1千米，也就是说是在每秒千米的数量级；地球的运动速度为29每秒千米，也就是在每秒十千米的数量级；太阳以每秒200千米的速度随银河系运动，也就是在每秒百千米的量级；估计银河系在本星系团中的运动速度在每秒千千米的量级；以此推算，星系团的运动速度应在每秒万千米的量级；而超星系团在宇宙边缘的运动速度就应该能达到每秒十万千米的量级。每秒数十万千米的速度不刚好就是光速的范围吗？

如果宇宙的边缘以光速运动，那么宇宙向外膨胀的速度就必然受光速的约束。这是一个很有意思的假设，如果宇宙的边缘是以时任光速向外膨胀，那么每过一年，宇宙就会增大1光年。如今宇宙的年龄为137亿岁，因此我们推测宇宙的大小为137亿光年（1光年=9.47×1015米）.

二、从哈勃常数推算宇宙的大小

美国科学院刊（PNAS）于1929年1月17日一期刊登了美国天文学家哈勃（Hubble E.）关于发现宇宙膨胀的重要论文[1]。文中提出了后来被称为哈勃定律的下列公式

V=H0×d (1)

哈勃在文中将宇宙膨胀的速度称作天体的退行速度（V），该速度与天体发出的光线到我们地球时所走过的距离（d）成正比。（1）式是哈勃从大量的观察数据中归纳、总结出来的一个经验性的比例关系，它不是严格理论意义上推导出来的公式。若是理论公式，距离和时间为两个截然不同的物理量，并且各自都有自己的明确的量纲，两者是决不容许混淆的。但它是属于经验式，根据爱先生的相对论，光速是一切运动速度的极限，也是一个常数。因此，光走过的距离和它走此距离所用的时间实际上是等价的，当从数据中归纳出（1）式时，既可以说天体的退行速度与光线到达我们地球时所走过的距离（d）成正比，也可以说是与光线到达我们地球时所需要的时间（t）成正比。不过，由于历史原因哈勃在他的公式中当时使用了光线走过的距离这一物理量，而给后来的人们对哈勃定律的理解造成了极大的障碍。其实，哈勃在他1929年的论文的最后一段中，也曾表示有将加速度和时间引入的意愿。为此，我在本栏目“对宇宙起点时间和宇宙奇点的新思维”一文[2]中已经将（1）改写成了直接描述宇宙膨胀的哈勃定律的微分式：

dU=W×dt (2)

（2）式中dU就是在时间dt内宇宙的瞬时膨胀速度，不再是令人费解的天体退行速度。这样，原来公式中的哈勃常数H0就直接变成了描述宇宙膨胀的加速度（W）。W与H0的数值完全相同，只是单位由原来的单位距离内的速度变化改为单位时间内的速度变化（加速度的单位）。大致H0 =70 km/s/Mpc（Mpc表示百万秒差距，1Mpc = 3.26×106光年）,W = 70 km/s/（3.26×106年）= 2.15 cm/s/年。也就是说，我们的宇宙正在以每年2.15 cm/s的匀加速度膨胀，经过137亿年后的今天，宇宙的膨胀速度可由（2）式对时间（t）进行积分(并忽略定积分常数)得到

U=∫W dt = 2.15 cm/s/年×1.37×1010年=2.95×108 m/s （今天的光速）

这与本文上面第一部分推出的宇宙的半径正以光速增大，每年增加1光年的结论是一致的。

将（2）式对时间进行二次积分，将宇宙年龄（T）作为时间上限代入并忽略定积分常数，就得到了今天的宇宙半径（R）

R = yWT2 = y×2.15 cm/s/年×（1.37×1010年）2 =6.36×1025米

此计算结果与爱因斯坦等人估计的宇宙半径为1027厘米基本相同。

参考文献：

1. Hubble E. 1929，A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae. PNAS，15(3):168–173.

2. 王孝恩，对宇宙起点时间和宇宙奇点的新思维.中科院科学智慧火花，2017-01-17.

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