三体问题简述

在去年的春节期间，电影《流浪地球》上映，在国内收到了广泛关注与普遍好评。影片的内容相信绝大多数同学们都相当熟悉：随着太阳的老化与膨胀，地球原有的轨道逐渐移出宜居带，甚至面临被太阳吞没的风险。于是人类给地球安装行星发动机，驶向人类的新家园——半人马座。那么，人类在未来家园的生活可能是什么样的？我们将目光聚焦在半人马座上。

半人马座主要由三颗大星组成：距离太阳系最近的恒星比邻星、南门二星与南门二B星。虽然南门二B听起来有点像骂人的话…但是当提起这三颗星就是刘慈欣先生的小说——《三体》中提到的三体人的母星，可能很多人对其的陌生感会大大减小。也就是说，如果流浪地球计划真正达成，我们可能会进入到这样一个类似的三体系统中。

在《三体》小说中，一个模拟三体世界的游戏，让人类登陆到一个围绕着三颗恒星旋转的行星的世界中。在这样的世界里，乱纪元中仿佛行星离开了宜居带：时而双星、三星当空，使地面化为一片炽热的海洋；时而天空中出现三颗飞星，地面进入到漫长而寒冷的长夜。而在恒纪元中，文明开始复苏，生命的正常活动回复进行。

我们可以看到，在虚拟的三体世界的漫长演化历史中，几乎所有的科技发展都围绕着这样的一个主题：如何预知乱纪元或者恒纪元的到来及时限。由于行星的质量小到对于恒星的轨道影响可以忽略不计，所以本质上，三体世界的生物一直与三体问题进行着斗争，尝试求解三星的运动轨迹、以期编排历法、发展文明。但是这样的斗争也最终以失败告终，三体人离开母星，驶向地球。

那么，三体问题为什么难以求解，我们现在又能够通过什么手段研究这样的问题呢？

事实上，三体问题的原理异常简明：两物体之间的万有引力定律与对于某一物体而言的牛顿第二定律。对于某一星球而言，有F = ma，而对于加速度有a = d^2 x / d t^2 。设这样的物体处于位置x，其余的2个星球分别处于位置x_1与x_2 ，则F_1 = Gmm_1 / |x – x_1 |^2 ，F_2 = Gmm_2 / |x – x_2 |^2。方向分别沿此星球与另外两个星球的连线方向。由以上三式，我们很容易可以得到一个关于此星球的位置x的二阶常微分方程，在已知初始条件的情况下，这样的方程理论上可以有唯一的适定解。同样的想法，我们也可以借助于初始条件以及万有引力定律与牛顿第二定律，列出并求解另外两个星球的运动方程。由此我们可以得出初步结论：在初始条件完全确定的情况下，三体问题确实是可以精确求解的。

然而，科学家们为什么最终得出结论，三体问题是不可预测的呢？事实上，三颗星球组成的系统的运动状态相当不稳定，组成着物理学中的一个“混沌”的系统。这样的系统对于初始条件异常敏感，当初始条件改变极小的值时，可以在后续引起巨大的差异。对于宇宙学尺度的研究而言，我们固然可以做到精确再精确，但是初始条件的测量误差始终不可避免，而这样的微小误差，导致我们所求解的结果与真实结果差异甚大，甚至毫无意义。因此，我们称三体问题是不可预测的。

尽管三体问题无法求解，我们仍然可以通过物理学上的分析与计算，得到三体系统的部分特殊解。在这样的特殊解的解的系统下，三颗星球沿着特殊的轨道做周期性的运动：这样的轨道一般具有高度的对称性。例如：三颗星球组成一个等边三角形，分别在圆轨道、椭圆轨道以及双曲线轨道的一支上进行运动；三颗星球中第三颗星球处于第一颗与第二颗星球的拉格朗日点上等一系列特解。寻找三体问题的稳定的特解始终是天文学研究中的一个重要的领域。

在目前的情况下，科学家们使用的比较多的研究方式，是通过计算机数值模拟的方法寻找三体问题的周期性解。计算机数值模拟的原理与实现并不困难：我们之前给出了三个星体运动的常微分方程组，科学家们做的事，就是不断的在可能产生周期性运动的初始条件附近调整初始条件。计算机基于对时间的微分，将极小的一段时间内星球的受力近似为常数，进行不断的迭代，求出最终的结果。正是在这样的想法下，科学家们在原有的三组比较显而易见的周期性特解的基础上，又发现了十三组特解。在这样的特解中，星球新的运动模式被发现。这13组特解非常复杂，在抽象空间“形状球”中，就像一个松散的线团。

然而，通过特解研究三体问题几乎止步于此。我们引入自由度的概念：空间中一个原子有三个自由度：上下、前后、左右。两个原子有六个自由度：他们分别的上下、前后、左右。一个刚体有五个自由度：刚体一端的三个与另一端的两个。换言之，如果我们用一些列的未知数代表一个物体的运动状态，那么有几个自由度运动方程中就有几个未知量，我们也就需要几个独立的特解完全确定运动方程。

对于三体问题，描述任意一个星球的运动状态需要六个参量：沿x、y、z方向的位移与速度分量。所以三个星球一共有十八个自由度，这意味着如果我们发现了十八组特解，那么我们就可以断言任意三体问题都是这十八组特解的线性叠加。从而精确求解三体问题。反证法的想法告诉我们，我们不可能得到十八组周期性特解，也就意味着我们目前的十六组周期性特解的数量，几乎无法进一步推进。

那么，我们之后还可能有什么手段来研究三体问题呢？现在看来，只能通过计算机模拟与更加精确地测定初始条件，来尝试更加精确地对三体系统的运动状态进行预言。我们可以为如今人类越来越接近这一目标而欢欣；也需要明白，有可能这样的混沌系统精确描述的计算量，远超乎人们想象以及人类目前最强大计算工具之所能。

回到开始的问题，流浪地球计划成功后，人类的生活可能是什么样的？会不会和《三体》小说中描述的那个世界一样水深火热？地球会不会在潮汐力或是极端气候下生机不再？人类文明的火种能不能继续延续下去？一切都还未知。但至少大梦初醒时，我们还可以庆幸，我们依然生活在宜居带中；地球上生命的存在，本身就是一个奇迹。

所以更要心存感激，爱护家园，拥抱自然

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