吉布斯现象简介

相信现在大一学高数(下)的学生应该已经开始和傅里叶级数作斗争了吧，估计大家都会抱怨其积分太复杂，但是我相信有作图软件的同学，应该已经尝试过用三角函数来逼近一些周期函数了。细心的同学应该已经发现了这个现象：将具有不连续点的周期函数进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这个就叫做Gibbs现象。

这个现象是不能因为阶数增加而减弱的，只会让峰值点更加接近跳变点。这里给出一个不太严谨的证明：

首先，为了方便计算，我们取方波为例，然后呢，我们把周期不断增大，最后呢，就会变成阶跃函数，阶跃函数的定义很简单，就是宗量(自变量)为负的时候值为0，否则为1。但很显然，这东西不是周期的，或者说周期无穷大。那肯定有同学要问了，这种非周期函数怎么能有傅里叶级数呢？其实，我们把周期趋向于无穷大的时候，两个相邻频率之间的差值，即基频1/T也在不断减少直至零，也就是说当周期趋向于无穷的时候，他的频谱也变成了连续谱。其实如果我们再深入一点就可以得到傅里叶变换的定义了。如果我们有一个函数的傅里叶变换，对它的频域以1/T的间隔抽样，得到的就是这个函数以T为周期进行周期延拓之后的傅里叶级数。而我们取前有限项的过程，就可以变成一个理想的低通滤波，只保留频率小于Wc的量，其余的全部变为0，推导如图。可以得到gibbs现象的结果。

作者：phy东西

APC编辑部科普组

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