窥见数学思维：为什么2≠5？

看到这个标题，你是不是整个人都是懵的？

为什么2不等于5？为什么2不等于5你心里没点数么？小学毕业了么？小学数学是体育老师，呸，体育老师也不背这个锅。小学数学是猴子教的么？你咋不问为什么猪不等于鸡呢？

说完了么？如果你说完了，我还是要再问一次：为什么2≠5？您可愿意教我？

昨天上一篇我还在给你讲《几何原本》，为什么这一篇我要突然讲2≠5呢？

除了在《陪孩子读几何原本（4）：误区！千万别把《几何原本》当成了几何习题集》里提了一句以外，最主要的是：这个问题跟《几何原本》的内在逻辑是一样的。

如果我在《几何原本》篇里反复强调的“我们做的一切判断和操作都必须从公设、公理、定义中找到合法依据。”还不能引起你的十分注意，或者完全的理解。那我今天希望用这个完全超出你心理预期的“蠢”问题让你彻底意识到这一点。

为什么2≠5是一个严肃的问题呢？

我倒想先问你，为什么你会觉得这个问题不可理喻？你认真想一想，你有什么理由认为2≠5？你证明了吗？你有依据吗？

我前面反复强调，我们做的一切判断都必须从公设、公理、定义中找到根据，你以为这只是《几何原本》的要求么？》不，这是公理化数学的要求！

那你再想一想，有哪条公理、公设可以证明2≠5？哦不，可能更多人的问题是：啥，1、2、3、4这样的自然数还要公理？自然数嘛，不是掰一掰手指头就对应的那些数，这些东西还需要什么公理？

怎么不需要？

无公理，不数学

这时候你可能才意识到这个问题严肃在哪。显而易见，大家都承认从公理出发，利用逻辑和演绎推导出其他的命题的方法，确实非常不错，可以保证知识的准确性。

而且，不仅几何要这么干，代数也要这么干。凭什么只有几何有这样的公理化的严密体系，代数就不可以？数学偏心？

好，有了这个意识以后，我们再来分析一下这个问：为什么2≠5？

面对这个问题，我们要怎么思考呢？要证明为什么2不等于5，我们首先得搞清楚什么是2，什么是5。也就是说，我们需要知道到底什么才是自然数，我们要如何用数学的语言去刻画自然数。

因为公理是数学体系的出发点，所以，我们需要一套公理，一套可以刻画自然数的公理。从这个公理出发，我们可以刻画自然数的各种特性，然后我们才可以证明为什么自然数2不等于自然数5。

刻画自然数的公理有很多，最常见的就是皮亚诺公理。接下来，我们来一起看看皮亚诺公理是如何描述自然数的。

首先，我们我们现在说的自然数，是包括0的，也就是{0,1,2,3,4……}这样一组数。

皮亚诺公理有5条。

公理1：0是一个自然数。

公理2：如果n是一个自然数，那么n++也是一个自然数。

我们先看看这前两条公理是啥意思。

公理1说0是一个自然数，也就是说我们默认承认0是一个自然数了，既然公理这样说了，你就不要再问为什么说0是一个自然数了。

公理是数学体系的最底层，如果我有更好的办法证明这个公理，那么这个公理就会变成一个可以从其他公理推出来的定理，它就不是公理了。

公理2说如果n是一个自然数，那么n的后继n++也是一个自然数。

这里的理解会稍微复杂一点，不是那么想当然了。公理2说如果n是自然数，那么n++就是自然数。

那么，根据公理1，0是自然数，所以0的后继0++是自然数。因为0++是自然数，所以（0++）++也是自然数。同样，这个逻辑可以一直继续下去，（（0++）++）++肯定也是自然数。

然后，我们就把0++定义为1，（0++）++定义为2，以此类推。

也就是说，在皮亚诺公理体系里，1、2、3这些数字只是（0++）++……的代号，只是用来代替那一大串的一个记号。

有了公理2和这个定义，我们就可以非常容易的证明2、3、4、5都是自然数了。因为0是自然数（公理1），所以1（0++）也是自然数（公理2）；因为1是自然数，2（1++）也是自然数，所以，3、4、5……都是自然数。

那么，仅仅依靠公理1和公理2，刻画的一列数就是我们了解的自然数了么？

不行，为什么？

你看啊，如果仅仅只有公理1和公理2，这样一个数列{0，1，2，0，1，2，0，1，2……}就也是自然数了。

它满足公理1（0是一个自然数）么？满足。它满足公理2（如果n是一个自然数，那n的后继n++也是自然数）么？也满足。

这里，我要特别强调，我们说的n++，只是代表n的后继。也就是在这一列数里，n++排在n的后面而已，并不是n++就是你以为的比n大1，这时候你只有两个公理，你压根就没有什么大于的概念。

你看这个循环数列{0，1，2，0，1，2，0，1，2……}，如果我说这叫自然数，那么0是自然数，每一个自然数的后继（反正还是0、1、2其中一个）还是自然数。

它完美符合公理1和公理2，但它并不是我们平常感觉的自然数。所以，只靠公理1和2是不行的，我们还需要增加一些公理对自然数进行更深层的刻画。

于是，我们就有了第3条公理。

公理3：0不紧跟在任何自然数之后。

也就是说，有了公理3，0就不能再跟在任何自然数的后面了，这样就可以避免上面的循环数列了。因为在{0，1，2，0，1，2，0，1，2……}里，0是跟在2后面的，所以它不满足公理3，也就不是自然数列。

0不紧跟在任何自然数后面，也就是说，对于任何一个自然数n，n++≠0均成立。

所以，如果n=2，我们就得到了2++≠0，也就是3≠0。我们姑且把这个叫做命题1。

也就是说，走到公理3之后，我们才能证明“3≠0”。但是，你还是无法证明“2≠5”，不信你可以试试

好，有了公理1、2、3，我们就能准确的描述自然数了么？

还是不行，因为这几个公理无法排除这样的数列：{0，1，2，3，3，3……}。也就是说，如果自然数的公理只有这3条，那么这种后面都是同一个数的数列无法被排除出去。

因为你看，它显然满足公理1和公理2。公理3说0不紧跟在任何自然数后面，这个数列里，0只在第一个，确实不在任何其他自然数的后面，也满足。

大家可以想一想，这种增量增加到一定就不增了的数列，你要用什么办法避免它的出现？

要解决这个问题的办法有很多，皮亚诺公理采用的是这样一种简单有效的办法。

公理4：对于不同的自然数而言，紧跟在它后面的数字也一定是不同的。

也就是说，公理4告诉我们：如果m和n都是自然数，并且m≠n，那么，就一定有m++≠n++。这样，我就可以保证你所有的数列都给我老老实实的增长，不准出现谁谁谁突然涨着涨着就不动了。

还记得在公理3之后，我们证明了”3≠0“（也就是命题1）么？

如果3≠0，那么，根据公理4就有：3++≠0++，也就是4≠1。

再用一次公理4，因为4≠1，所以4++≠1++。因为4++就是5，1++就是2，所以，这就是说5≠2。

然后，再看看我们的标题，我们花了这么多篇幅，一直逼出了皮亚诺公理的4个公理，才证明了5≠2，才证明2跟5不相等，才回答了我们题目的问题。

我在把证明5≠2的过程完整地写一次：

因为0是一个自然数（公理1），所以1（0++）也是一个自然数（公理2），2（1++）也是一个自然数（公理2）。

因为2是一个自然数，所以2++≠0，也就是3≠0（公理3）。

因为3≠0，所以3++≠0++，也就是4≠1（公理4）。因为4≠1，所以4++≠1++，也就是5≠2（公理4）。

证毕。

我们花了这么多篇幅，才完成了5≠2的严格证明。现在你还觉得这个问题很不可理喻么？还认为小学数学老师听到这个会痛心疾首么？

我们费劲心力通过皮亚诺公理来定义自然数，图的是什么？图的就是为了让我们的代数体系也能像《几何原本》那样，只要你承认了最开始的几个不证自明的公理，后面的一切命题都可以从这里推导出来，这样我们可以一样建立一套严密的代数体系。

为了保证我们的知识是确定的，我们要用非常严密的逻辑来构造它。因为经验和直觉并不可靠，历史上反直觉的科学进步还少么？

如果我们还停留在一切凭感觉，一切靠直觉的时代，那我的感觉肯定告诉我重的铁球比轻的铁球下落得更快，我的感觉肯定也告诉我是太阳围着地球转，那现代科学就无从谈起了。

文艺复兴以来科学技术上的重大进步，从根本上说就是理性的进步。我们就是依靠这种理性，这种严密的逻辑，而不是感觉，建立起来了牛顿力学，建立起来反直觉的非欧几何，也才有了后面的相对论和量子力学。

而西方科学里，这种理性的源头，这种严密的公理化体系的源头，就是《几何原本》。从这种意义上来说，《几何原本》是西方科学精神的源头，所以我们要认真读它，更何况这是一本连小学生都能读懂的书。

几何学通过《几何原本》这种严密的公理化方案获得了巨大的成功，其它各门学科争先效仿，牛顿的《自然哲学的数学原理》就是直接按照《几何原本》的方式写的。

其它学科都这么干了，那么，跟几何一样，同为数学分支的代数自然也要公理化。而自然数是代数的基础，所以才有了自然数的公理，我们今天说的皮亚诺公理，就是其中的一种。

通过皮亚诺公理定义了自然数，自然数的正数取个负号就能定义整数，然后用整数定义有理数，再定义实数、复数，这才有了后面的数学大厦。

最后，我一开始的时候说皮亚诺公理有5条，但是我们证明5≠2时只说了4条。还有最后一条叫归纳法原理，我这里也说一下。

公理5（数学归纳法原理）：令P(n)表示自然数n的任意一个性质，如果P(0)为真且P(n)为真时一定有P(n++)也为真，那么对于任意自然数n，P(n)一定为真。

这个比较长，相对前4个公理要复杂得多，本质上跟前面4个也不一样，我也不准备细说。高中数学里会讲数学归纳法，用数学归纳法的人一定一眼就能看出这是啥意思。

再召唤一波皮亚诺公理的前面4条：

公理1：0是一个自然数。

公理2：如果n是一个自然数，那么n++也是一个自然数。

公理3：0不紧跟在任何自然数之后。

公理4：对于不同的自然数而言，紧跟在它后面的数字也一定是不同的。

大家要是对这个感兴趣，可以去看看《陶哲轩实分析》。今天我就讲到这里，希望大家通过对2≠5的证明，对皮亚诺公理的理解，加深对《几何原本》认识。

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