坐标系困境：广义相对论险入歧途

来源：知社学术圈

导 读

阿尔伯特·爱因斯坦在1915年底提出了他的广义相对论。而实际上，在此两年之前他就已经完成了它。学者在研究他那两年间的笔记资料时，找到了广义相对论完整的方程式，最多只缺少一些细节性的东西。匹兹堡大学科学史及爱因斯坦研究专家John Norton说：“这确实应该已经是最终的理论。

原来，在广义相对论提出的最后关头，爱因斯坦发现了一个严重的缺陷，这令他在怀疑与发现的歧途上颠沛流离，几近让他抹杀掉自己最大的科学成就。而他当时所做的决定至今依然深刻影响着数学和物理学。

以下就是这个缺陷的内容：广义相对论旨在取代牛顿经典力学体系。这意味着它必须能完美解释牛顿方程所有能解释的物理现象，也能解释那些牛顿方程所不能解释的现象。然而在1913年，爱因斯坦认为自己的新理论无法解释弱引力场的情况，而这一情况牛顿体系可以处理得很好。

“回想起来，这只是一个奇怪的缺陷” Norton说。

为了纠正这一缺陷，爱因斯坦认为必须舍弃这个新生理论中的一个核心特征。

广义相对论方程，即爱因斯坦场方程，描述了时空的形状是如何随着物质和能量的存在而改变的。为了描述这种改变，我们需要在时空上强加一个坐标系，以便标明各点的位置，就好像我们日常生活中使用的经纬度一样。

对于坐标系而言，最重要的是要认识到它们是人类的创造物。或许，在一个坐标系中我们将某点标记为（0，0，0），而在另一个坐标系中我们却将它标记为（1，1，1）。这个点的物理属性实际上是没有改变，虽然我们的标记并不相同。

“这些（坐标系）标签是属于我们的，而不是属于这个世界自身的。”加州大学尔湾分校的科学哲学家James Weatherall说。

爱因斯坦最初希望他的方程是与坐标无关的（他称之为“广义协变”），这意味着无论你因为机缘巧合使用何种坐标系，它们都会无差别地产生正确、一致的宇宙描述。但爱因斯坦此时已经让自己深信不疑，为了解决他所“犯下的错误“，他必须放弃”广义协变“。

广义协变原理：物理定律必须在任意坐标系中都具有相同的形式，即物理定律必须在任意坐标变换下是协变的。

他的这一企图不仅失败了，并且让他错得更深：他试图表明，协变不是他的理论可能具有的特性，何况从更原则的层面上讲，它也是不可能的，因为它违反了因果律。正如爱因斯坦在一项研究中所说的那样，“对于一流的头脑来说，杜撰似是而非却又无法确证的争议论点，是再容易不过的事情了。”

好在爱因斯坦及时退出了这趟浑水。1915年末，他获悉声望卓著的德国数学家大卫希尔伯特，也独立地接近完成广义相对论构想。这让爱因斯坦重拾了对自己这个伟大创想的信心，在那几个欣喜若狂的星期，爱因斯坦又拿出了手中雪藏了两年的广义相对论方程，并采用了上文提到的理论处理。 同年，在普鲁士科学院的四次讲座中，他首次宣布了这一伟大成就。毋庸置疑，这彻底改变了我们对物质世界的看法。

我们知道，今天的爱因斯坦场方程是广义协变的。他们表述的是在能量和物质存在的情况下时空如何变化，而更重要的是，这是放之整个宇宙皆准的物理真理，无论你用什么坐标来标记事物。

然而，数学家和物理学家仍然在围绕坐标系统的问题进行研究，正是这些问题困扰着爱因斯坦，拖缓了广义相对论的问世。如今，科学家在统合广义相对论与量子理论方面做了大量的努力，原因部分就在于，难以发展出同样具有广义协变特性，适用爱因斯坦场方程量子引力理论。 

Weatherall说：“从某种意义上说，你可以认为，我们无法找到一个合适的量子引力理论的原因是，我们不知道如何在对任何坐标系都无依赖性的前提下来阐述爱因斯坦场方程的解。

在实践过程中，最大的挑战恰恰在于想清楚如何“打破“爱因斯坦方程的广义协变，也就是说，如何选择一个适用于特定问题的特定坐标系。对于那些研究黑洞稳定性猜想的数学家来说，这个问题尤其突出，这在最近一篇文章《爱因斯坦黑洞方程的证明》中已经述及。根据感兴趣的特定问题，分析一些坐标系是否比其他坐标系更好，找出可供选择的最优坐标系，以及如何随着解的变化来调整坐标系，这实在是数学里的一门高级艺术。

如果有一个适用于每个问题和每个时空配置的单一通用坐标系统，新的证明将变得十分容易。但是，正如爱因斯坦在那段犹豫不决的时间中所发现的那样，宇宙不承认任何一种特殊的坐标选择。

“不仅仅是找不到这样的选择，”Weatherall说，“我们认为爱因斯坦教给我们的一件事情就是，根本就不要期望有这样的选择。”

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