混沌粉碎了决定论_宇宙时间奥秘
混沌存在的场合对初始条件是极端敏感的。牛顿方程能作短期预
言，不能作长期预言，除非初始条件精确地知道。真实世界的这个特点，
便被用来作为同时打发决定论和庞加莱回归论的武器。在上面的例子
中，气体初始条件一个小小的改变就意味着本来要碰撞的分子不再碰
撞，本来不会碰撞的分子却要碰撞。相空间代表所有分子的代表点，其
轨道就要有很快的变化。这样，虽然牛顿方程应该能描述这气体的行为，
但是要从这决定性运动方程中对未来作准确的预言，初始条件（所有亿
兆个数值）必须以无穷高的精度得知才行。这工作即使原则上能做，也
不是任何人脑、任何容量小于无穷的计算机能做的。说精度追求将是无
穷，就是说这工作一直做下去，永远做不完。只有进入宗教的领域，决
定论才存在。千真万确，事实上，也只有全能如上帝者，才能处理无穷
多的信息。
气体是非稳定动力系统的一个例子：初始条件中微小的变化导致它长期行为中巨大的变化。类似地，不管弹球迷怎么想尽方法把钢球打得跟上次一样，结果总是不同。一个动力系统，如果是高度地不稳定，它便叫做混沌式：在此情况，初始条件很靠近的两个轨道很快地（指数式）分离。然而描述时间上演化这问题，还不仅是搜集必须放入牛顿运动方程的数据这项实际困难。假设射入弹球台的弹球的初始速度——初始条件之一，是一个介于 0 和 1 之间的数（也可以是介于 1 和 100，或者两个任意数之间，道理一样）。这听上去很平常，其实却蕴藏着一个基本问题。因为我们用来描述这初始条件的任何数都是特殊的，都是非典型的。这是因为我们只能用所谓的有理数，它们由两个整数的商定义，可是数学揭示了众多的无理数，它们要讨厌、麻烦得多，描述一个无理数得用一个无穷长度的随机数字系列。对决定论的打击是由于，虽然在 0 与 1
之间有无穷多个有理数，无理数比有理数还更多，更无穷地多。我们只能处理有理数，而无理数必须用有理数近似。这样，我们能处理的数其实是一个极不正常的选择。当钢球开始运动时，它的速度是个无理数的概率远远（无穷远）地大于是有理数的概率。我们永远不能精密地描述它在弹球台的行动。这是原则问题，不仅是实用问题。即使有理数也会很长，甚至需要无穷个数字来表达。例如 1／ 3 是 0．3333333 一直到无穷，作数字计算时必须截断，好比说，0．333。可是任何截断将会很快地导致与用“精确”初始条件完全两样的钢球轨道，产生完全不同的一场游戏。初始条件多少总是不确定的，这事实我们躲避不了，必须正面对付。
只是最近人们才注意到，问世已三个世纪的牛顿运动方程所描述的
经典系统是不稳定的，才意识到牛顿式决定论是有缺点的。一度是传统
学科的流体力学的权威，赖特希尔爵士（SirJames Lighthill），最近
代表几世纪来梦想实现决定论的众多科学家，作了一个感人的公开忏
悔：“今天我们都深刻地感到，我们的前辈对牛顿力学惊人成就的崇拜，
使它们在可预言性这领域中作了些推广，这些推广我们在 1960 年以前都
倾向于认可，但现在我们知道是错误的。我们以前曾向知识界宣传过，
满足牛顿运动方程的系统是决定性的，这在 1960 年后的今天，已被证明
为不正确。我们在此集体向知识界道歉。”赖特希尔本人的专业，从前
是工程师和应用数学家独占的地盘，现在经由对动力系统的新处理方
法，已成为数学物理中新颖而硕果累累的一门学科。
无数考卷叫学生把牛顿方程应用在圆球的碰撞或行星整齐的轨道运行上，要知道这些问题都是例外，不是普遍现象。认为“正规”教育是和“现实”脱节的人，大可以用此作为武器。虽然用来处理这些问题的方程很简单，混沌这概念的妙处就在于，从同一个源，也能产生复杂的行为。
经过遍历理论的发展，相空间中的复杂性和时间箭头变得容易想象（参见图 30）。混沌的手法可由相空间肖像显示。我们上面看到，初始条件，即使对一场弹球游戏来说，一般也是不能精密地确定。考虑到此点，相空间肖像不应该再用单独一点，而应该用个一小团。这小团包含所有与初始条件不确定性相容的轨道（气体分子的也好，弹球游戏中钢球的也好）：这小团包含可能性的范围。这小团在时间上将如何运动？游戏规则很简单：小团按照刘维方程演化，（刘维方程，第五章讲非平衡统计力学时已讨论过），小团的体积必须守恒，形状不一定守恒。体积守恒的理由可以用容器中气体来说明。不管气体有多少种分配给诸多分子的方式，气体处于容器中的概率总是一样，总是等于一。气体总不会不翼而飞。这样，这小团可以看为一滴不可压缩液体，永远保持体积不变——因此保持总能量不变，但可以变化形状（相空间中整体形状标
志运动是如何分配在分子中的）。
现在让我们来浏览一下相空间肖像画廊，（这些肖像都不是用“一点”而是用“一小团”画的），看看是否能看出不同画家的手法。（见图 31）。图（A）是主考老师的得意之作，简单美感的曲线说明这是个可积分（非遍历性）的系统，这里的小团作周期性的旋转，只经历整个相空间（“布局”）的一小部分，并且保持它的形状。此画派肯定也影响了（B），那是一个遍历性系统，处于小团中所有的轨道仍然始终彼此靠近（不然小团就变模糊了），但是小团经历整个相空间。肖像（A）和（B）代表稳定的（或规则的，或非混沌的）动态，因为初始条件中微小的不确定
相空间概率的时间演化：（A）非遍历性；（AB）遍历性；（C）混合式。[录自巴力斯古《平衡统计力学与非平衡统计力学》，第 718 页。 ]
性，在长时间以后的系统状态中导致的不确定性，仍是同样地微小。
肖像（C）揭示的是可能更有兴趣的情况。它的狂舞，像一幅贾克逊·泊罗克（Jackson Pollock）的画：这运动经历整个的相空间，因此是遍历性的。可是小团的体积总是不变，它的形状却变成越来越长、越来越细的细丝，变成像掉进水里的一滴墨汁，放进咖啡里的一团奶油。到了它最后渗入布局的每个部分之后，它就不再演化了。这点具有重要意义，因为它告诉我们，在概率分布函数（小团）的层次上，可以达到平衡，时间演化可以有个终点。因为这种肖像和不同液体的扩散混合颇有相似之处，所以它叫做混合式遍历流。霍普夫第一个研究了这种时间演化的数学细节，虽然这种行为吉布斯已经想到过。
混合式流动的动力学不稳定性。（A）初始相空间概率分布中相距 d 的两点。不管 d 是多小，这两点将随时间指数式地分离，如（B）所示。比较图 31（C）。[录自柯文尼，《研究》第 20 卷，190 页（1989）。]
混沌的作用可以在图 32 中看到。这里显示的是肖像中“笔法”的细节，在初始条件小团中邻近两点之间距离随时间的变化。
不管两点最初靠得多么近，它们总随时间指数式地分离。在很短时期内，这样两点的行为差别不大。但过了一段时间以后，它们的长期轨道就完全不同，它们各自经历相空间中完全不同的区域。这正是我们所谓混沌式时间演化的意义，因为只有我们能无穷精确地得知初始条件，我们才能利用牛顿的决定性方程来计算未来的行为。用相空间绘画语言来说，如果开始是单一的一个点，我们就可以求助于牛顿。但是对混沌系统，初始时刻不会没有的不确定性意味着牛顿物理的基石——可预言
性——瓦解粉碎了。
对于这种混合型流动，一丝不苟的决定性必须退位给概率陈述。这就是说，我们必须一开始就放弃决定性的轨道，而只运用概率——这正是统计力学的办法。此结论对时间箭头颇具意义，科学家们，尤其是玻耳兹曼，想用分子运动来说明不可逆的热力学第二定律，既然他们用的主要方法之一就是统计力学，因此我们刚得到的结论，对时间箭头颇有意义。要注意：我们达到这结论，并没有引用任何主观论证。
这混合型肖像只是整个混沌肖像“族”里的成员之一。如果把遍历性系统按照不稳定程度即混沌程度排列，混合型流动是居中的。比它更混沌的行为发生在所谓 K 型流动中。这里，K 代表柯尔莫哥洛夫，他和西奈伊研究了这种流动的性质。K 型流动的行为处于完全不可预言性的极端，尽管“内中的”运动方程仍然是决定性的。K 型流动具有如下令人注目的性质：初始即使有无穷多个测量，也不能预言下次测量的结果——除非初始测量是无限准确的，那当然物理上不可能。这种流动本质上是随机性的。
所有这几种行为可能听起来都有点太抽象。遍历性系统跟实际世界之间究竟有多少共同之处？事实上，直到西奈伊的创始性工作出现以前，很多人已经开始怀疑，现实与嵌在遍历性理论中抽象数学之间，是否有任何关系。但 1962 年，西奈伊宣布，他证明了一个只盛有两个或多个按照牛顿方程运动的台球的盒子，也具有图 31（C）所示的混合性质。西奈伊的结果是对决定论又一个打击。仅仅两个球的运动，虽然比较理想化，确也具有有统计力学所研究的行为的性质。而直到那时为止，人们普遍以为，遍历性（更不用说更强的混合性了）只是巨大数目的原子或分子（例如一个气体中成亿成兆的分子）才有的性质。西奈伊指出，如果盒子里的球不止两个，那么动态就更退化一步，成为 K 型流动。这样，即使一场台球游戏其实也是混沌式的，也是不可预测的。球杆碰球的情况，稍微有点变动，球的长期位置就完全不确定了。幸亏对台球球迷来说，这不可预测性只是在击球完毕很长时间以后才能察觉到，并且是在不存在摩擦力的情况之下才行。
西奈伊创始性工作以后，许多别的理想化的情况，其中有的涉及台球彼此之间碰撞和台球与凸面边界碰撞，也都被证明具有混合式流动甚至 K 型流动的性质。从理论观点看来，缺点是建立遍历性性质极其困难，一个典型的严格证明长达数十页。已证明具有遍历性性质的情况都比较“奇异”，例如台球式的相互作用不能作为分子作用的典型，因为台球直到碰撞以前，根本不管彼此的存在。真实世界里的相互作用总是更平滑些。不过，很多人认为这只是一个技术性的困难，认为真实系统大多可以用遍历性的 K 型流动来模拟。
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