混沌与时间之箭_宇宙时间奥秘
对于相空间肖像画廊如何跟时间配合这问题，现在让我们来试图给出一个更坚实的理解。我们已经看到，一个混沌式混合型系统（例如盒子里的气体），它的概率分布开始是一个小团，然后逐渐生出越来越细的卷须。这种卷须的成长和探触标志着气体分子对多得令人头晕的可能性进行调查。用单独一点的一定轨道来代表气体所有分子的运动是无意义的。我们唯一能说的是：气体分子，开始如果是在相空间某个小体积中某一点，现在就可能处于肖像中某条卷须中的任何一点。这里存在有巨大的可选择性。这也许就是微观层次的时间箭头，因为小团具有一个毫不留情的倾向，把自己变得越来越模糊，最后达到平衡的死亡状态，那时相空间整个布满细丝——变成了一团均匀概率的棉絮。
我们一旦放弃基于轨道的决定性描述，我们其实就已经根据对甚至是最简单的情况的了解，彻底进行了理论上、哲学上的再估价。我们不再有一个僵硬的决定性框架和固定的预言本领，我们被“降级”到统计层次，那里不存在决定性，那里的未来行为只是在一种概率意义上可预测。
以前没有不可逆性的场合，现在可以为不可逆性腾出地方来了，并且作法完全是客观的。它和动力学不稳定性密切相关，而这不稳定性是系统中的一个内禀性质，一个客观性质。因此即使在只有少数几个台球或分子的情况下，也运用概率并且承认这是基本作法是有道理的。这作法是基于系统的内禀性质，而和我们的干预、粗粒化方法以及其它“主观”行动无关。
以前认为是不允许的东西，经过运用概率理论对非稳定遍历性系统的描述，变为可能了——其中包括不可逆性，从而包括时间之箭。可是庞加莱的回归论不再来捣乱吗？它不是说谁也逃不过永恒的回归吗？量子芝诺徉谬（见第五章）发明者米斯拉证明了，当我们放弃用个别点子画成的肖像，而采用基于小团的肖像，用基于概率的图像代替基于轨道的图像，庞加莱回归就不再成立。
关键是：只有采用概率途径，而不是用牛顿的决定性方程，我们才可以合法地寻找一个量，它类似于熵，从它能得到第二定律的时间箭头。米斯拉在 1978 年的一篇重要论文里，证明了对于 K 型流动，可以找到这样一种熵。上面我们看到，K 型流动包括台球和理想气体，一般认为在大自然中很是普遍（这点尚未被证明），尤其是牵涉到宏观系统的场合。就像热力学的熵一样，米斯拉的熵也是在平衡态时达到最大，那时概率分布停止演化。
借助动力学非平衡熵，我们把牛顿学说的盖子揭开了，发现它里面的情况其实是和平衡这热力学概念相容的。这对我们在微观层次上寻找
时间方向，是一个紧要的发现。这是因为，就如第二定律所示，平衡状态其实就是时间之箭的箭靶。至于这箭头指向“前”，还是指向“后”，是另一个问题。回忆一下，作为此分析基础的经典力学是时间对称的：理论上可能有两个不同的时间演化，一是朝着未来的热力学平衡，一是朝着过去的平衡。
这两种演化应该选哪个，这问题对我们现有的基本原则来说太深奥了，是无法解决的。答案很可能归根到宇宙学上去，也许根据彭罗斯的建议，这建议第五章我们考虑宇宙学时间箭头时曾讨论过。不过这还是属于臆测。我们采取的作法是：把第二定律当做自然界一个唯象事实，用它根据观测来选择朝向未来的演化。我们采取这简单而意义重大的步骤以后，就能把第二定律的时间箭头加进动力学的结构之中，从而使后者彻底变质。在此解决不可逆性佯谬的办法之中，第二定律和力学的地位相等，这办法和简并派不成功的方法迥然不同，历史悠久的简并派总想用力学来说明热力学。
这办法从米斯拉后来和普里高津、库尔巴伊（ Maurice Cou-rbage）的合作中得到更多的支持。他们证明了，如果存在一个类熵量，可逆性的轨道便不能用。他们并且还发现了与不可逆性相容的时间模式，叫做“内在时间”，它标志着一个动力系统的年龄。这年龄反映着系统的热力学情况，而牛顿方程中的描述则表达纯粹动力学可逆性的特征。
自从不可逆性佯谬问世以来，人们一百多年来把力学和热力学放在敌对位置。而布鲁塞尔小组在两者之间建立了一个令人注目的关连。海森伯的不确定性原理（见第四章）所表示的、玻尔对量子力学的解释所强调的量子力学中观测量的互不相容，我们在这里发现一个和它很类似的情况：一个系统的热力学性质（即系统的不可逆年龄）如果完全知道，可逆性动力学描述就失去意义；反过来，动力学描述如果完全确定，热力学观点就立不住脚。对此情形，普里高津作如下说明：“世界之丰富多采，不是一种语言可以尽括的。音乐不能完全归纳在从古典作曲家巴哈到近代作曲家希恩堡的各种风格之中。我们经验的各种不同方面，同样地不能用单一的描述一言而尽。”
分别以动力学和热力学描述的可逆性和不可逆性，看上去是同一个硬币的两面。就如我们在量子力学中发现的情况一样，世界整个结构太丰富了，我们的语言说不完，我们的头脑懂不全。对时间这新的看法具有两个紧要而互补的方面，它们之间对比之强烈，犹如天堂和地狱。统治天堂的是动力学方程，它们是可逆的，是“无时间”的，它们的单纯保证着永远无穷的稳定。地狱则像是实际世界的近亲，其统治者是起伏、不定、混沌。这是个不稳定的，朝着死亡与平衡衰退的世界。
KAM 来到
这样，在经典物理学的核心中发现了能描述年龄概念的一种新时间；它和随时间增大的一种熵联系着。这样一来，不可逆性和熵看来都是充分不稳定的动力系统的基本性质，即使系统只含有两三个相互碰撞的物体。我们难道在热力学时间箭头与统治微观世界的可逆性方程之间，得出了一个普遍的联系吗？还没有完全这样：别忘记我们还没有考虑相空间肖像画廊中所有各种运动，我们只考虑了可积分系统和遍历性系统两种。要知道此外还有牵涉到三个或更多个物体的情况，这些都是不可积分的，这是庞加莱首先发现的，本章上面已经提过。
我们处理过的相空间肖像，是两种极端情况——极端“简单”的与极端“复杂”的。遍历性系统，特别是混合型流动或 K 型流动，属于“复杂”系统，因为即使是两个或三个台球在一个盒子中的运动，相空间肖像是毛发状的，表示整个的相空间都将被经历。另一方面，一个理想化的钟摆或者一颗绕日运行的行星是简单（可积分的）系统的例子，意即它们的运动受着高度限制，没有碰撞，可预测，因而是非遍历性的；它们的行动单调无味，有规有矩。这些可积分系统的相空间肖像是由受限制的（非遍历性）轨道组成，这些轨道周期性地重复咬自己的尾巴。这定性上和我们自己对简单系统的经验相符，“咬自己的尾巴”相当于地球重新开始一个绕太阳的循环，钟摆下一次的摆动。
这看来颇令人不解，尽管一个稳定的地球轨道让我们非常放心。从我们上面得到的认识，地球的绕日运动似乎具有一个随便乱来的混沌系统所具有的因素：它应该不是一个可积分的“二体问题”，因为还有月球和其它行星的引力作用。天体的运动其实是多体作用的结果（天体其实不止两个），因此，按照庞加莱的理论，这运动应该是不可积分的。而我们不是已经看到了，除掉最简单的情况以外，总应该出现混沌？
幸好我们仍可指望太阳每天升起，亏的是一个以柯尔莫哥洛夫-阿尔诺耳德-摩塞（KAM）命名的定理。此定理出于柯尔莫哥洛夫 1954 年开始的关于庞加莱回归的工作，这工作随后在 1960 年代初期由他的同事阿尔诺耳德加以发展。摩塞（JrgenMoser）同时先后在德国和美国用类似的方法作了同一工作。他们的研究证明了，庞加莱的这种系统属于完全规则和完全混沌之间的一种中介情况。
这种行为半明半暗的区域，可以从在简单情况里加一剂新配料以后达到。在我们地球绕日运动的模型中，这新配料就是我们引入的一个或多个代表月球或其它行星的小小的力。人们起先以为这种摄动肯定会把非遍历性转化为遍历性，把一个简单的相空间肖像，例如描述钟摆的环，改变成一个复杂的肖像，例如我们已经遇到过的“毛茸茸”的混合型流动。
可是 KAM 定理表明，这不一定发生：这小摄动在布局的不同部分，
作用不同。布局有些部分仍旧是规则的，就和未加摄动以前一样，有些部分就出现了很不规则的、混沌的行为。前者的初始条件小团仍旧被限止在比较简单的闭合环体里面，而后者的小团则伸出细长的卷。图 33 示意一个简化过的例子。规则区域相当于稳定的运动，相当于物体之间没有碰撞；混沌区域相当于物体经受了碰撞的随机化作用。看来好像这幅肖像是两个画家画的，每个画家画了不同的部分。这两部分一般很复杂地彼此缠绕着。
一个不可积分系统相空间行为的简化图。规则行为区域和无规则行为区域同时存在。参见图 31。
许多不同的因素支配着布局应该如何分成规则和无规则的两种区域。假设开始的摄动很小。我们逐渐增大输入系统的能量，我们将观测到一个所谓“随机跃迁”：本来主要是很规则的运动变成主要是很不规则的运动。原因是：能量越大，碰撞越有机会破坏和平的规则运动。此外，外加摄动的增大如果超过某个值，所有的动力学运动，由于同一缘故，都要变成混沌式运动。
天体力学界的天体物理学家听到 KAM 定理的消息以后，都非常兴奋，因为它为证明行星运动是稳定的这尚未解决的问题大大向前走了一步。行星运动如果是不稳定的，那么像地球这样一个行星就会一声不响地掉入深渊。生命也许从来就没有出现过。即使出现了，天空中的混沌行为也不会给古人什么宇宙“内在规律性”的线索了。这种鼓励，第二章我们看到，对发展智力思考（以及可逆性时间）曾起过极大作用，没有这种鼓励，牛顿科学本身也许不会升到统治地位。
KAM 定理对热力学第二定理的挑战。[录自《新物理》（P.C.W. Davies 编缉）中福特的论文的图 12.14。]
就如 KAM 定理所预言，在相空间某些部分运动是无规的，在太阳系中我们的确能找到一些粒子。状若土豆的土星第七卫星，它的运动就是混沌式运动。它围绕土星的轨道大致是规则的，但它同时不规则地、不可预测地打筋斗，就像一个土豆在地上打滚一样。冥王星的轨道中也有类似的行为。火星与木星之间小行星带中的空隙，混沌动力学也给了解释。
对于日夜在力学中寻找时间箭头的人， KAM 定理乍看上去不是好事。他们才刚以为终于能把时间的描述放在动力学不稳定性和随机性的基础上，KAM 定理又来捣乱，说复杂系统能在相空间某些部分呈现简单、无时间性的行为，和时间之箭能在相空间另外一些部分出现一样地肯
定。然而，重要的计算机模拟工作（特别是亚特兰大的乔治亚工业学院的福特与其合作者所做的）表明，在“物体数目充分大”的情况下——具有成亿成兆分子的宏观层次是肯定满足这条件的——所有关于规则周期运动的行迹都会被淹没掉。那时，KAM 定理将失去作用，遍历性、不稳定性、从而不可逆性再次主宰一切。虽然我们应该说明，这些话还没有给予严格的数学证明，时间之箭看来经过计算机的数字啃嚼而复活。这和我们自己的经验相符：正是在日常物体、事件（例如在融化的雪人）的层次上，我们最感觉到时间的箭头。
可是，这里看来好像也有一个截止点，和粗粒化中的差不多。第五章介绍了那里的截止点，它说当我们从原子尺度移到苹果尺度的过程中，时间之箭会神秘地出现，因此我们将粗粒化轻率地打发掉。现在当我们从少许几个原子移到“数目充分大”的情况的过程中，时间箭头的出现是否也具有某些随意性？统计力学启示我们利用“热力学极限”办法来处理这问题。我们不要设想一个任意大的分子集合，让我们考虑如下的系统：它的分子数目 N 和它的体积 V 都趋向无穷，但分子的密度（N除以 V）一直保持为有限。热力学极限避免了时间箭头在某个随意尺度上的出现。这是统计力学不可缺少的一手，应用很广，例如固体转化为液体时熔点温度的理论计算。在热力学极限下，KAM 定理失效；任何“无时间性”的规则行为都被冲走，只有无规则的混沌式运动留下来。这样，时间之箭就显露出来了。
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