遍历性_宇宙时间奥秘
庞加莱在牛顿力学路途上插上“此路不通”的牌子，热力学的创始人没有加以理会，他们继续苦干自己选定的工作。他们声明过的目的就是从原子分子方面表达世界的行为。与庞加莱毫无关系地，玻耳兹曼和吉布斯设计了一个漂亮的方法，来强调不同的两种系统。一种是行为可预测的简单系统，另一种是具有众多分子、和日常物体更为接近的复杂系统。
为了想象无数分子的行为，他们把这行为画在一个“相空间”里面。这绘画式方法在此学科整个专门讨论中，扮演了主要角色。相空间中的行为肖像，信息量极为丰富，它们对其中运动的显示，就和从笔触辨识画家一样可靠。它们也有助于揭示时间之箭。
对在一个盒子里运动的一个台球，要画它相空间肖像，我们必须说它的位置是什么，速度是什么。位置用三个坐标表示，习惯上用 x，y，z代表左右，上下，前后三个方向，速度也用这三个相互垂直方向的分量表示。这样一共要六个坐标来画这台球的行为；两个台球，就要十二个坐标，三个球，十八个坐标，等等。N 个球，要 6N 个位置速度坐标：这 6N 维度组成我们相空间肖像的布局。这 N 个球在某个时刻的状态就由这 6N 维的相空间的一个点来代表。虽然不可能想象任何大于三维的空间，我们至少直觉上可以理解，一百万个分子，用一个六百万维相空间中的一个点表示，比用平常三维空间中一百万个运动的点，更为方便。这些球按照牛顿的方程跳来跳去，那代表点在相空间就描出一个相应的轨道。
我们现在考虑一个完美的、来回摆动不已的钟摆的相空间肖像。每次来回，钟摆对其摆动终点的势能，和它速度达到最大时的动能进行交
换。如果摆动幅度不大，钟摆就是个可积分系统，相应的牛顿方程就能有精密解。这时候钟摆的相空间肖像是一个点，沿着一个环，永远不停地循环（参见图 30（a））。每循环一次相当于钟摆的一个摆动周期。如果我们把这理想化系统拍成电影，然后既顺放又倒放这电影，那就无法判断哪个是肖像实际进行的方向——两种运动都是允许的。这里时间箭头很明显地被遗留在外面了。而这里的轨道是个闭合的环，这事实鲜明地说明了庞加莱的循环时间和永远的回归。用我们的比喻来说，画这幅肖像的画家可以说是来自可预测、可积分系统画派。
现在我们把这幅肖像和描绘一个气体分子行为更复杂的肖像，加以比较。这里上亿的分子不像钟锤受着牵连，并且它们是不断在相互碰撞，在和容器的墙壁碰撞。每碰撞一次，气体的相空间坐标就作快速而重要的改变。玻耳兹曼和吉布斯经过推究，认为如果分子足够多，时间足够长，整个的相空间每一点都会经过。直观上我们可以合理地预期，一个单独的分子，随着时间的流逝，将会造访容器中每一点。他们把这性质叫做“遍历性”。一个长生不老的遍历性猴子，在一架打字机上随意乱打，经过长远到难以想象的时间以后，将会打出莎士比亚全集（以及狄更斯全集，乃至所有其它人的所有作品）。一个像孤立的、盛有气体的罐子那样的系统如果是个遍历性系统，气体分子就会探讨相空间所有准许的地方（参见图 30（b））。和钟摆比起来，这里飘忽不定的轨道显示着气体分子的随机性运动。
玻耳兹曼、吉布斯和麦克斯韦认为气体行为只受一个约束——能量的约束（他们考虑的是孤立系统，所以能量应该守恒）：“为了直接证明热力学平衡问题，唯一需要的假设就是：如果对
（A）小振幅钟摆的相空间肖像。这是一个可积分的动力学系统。其轨道被限制在相空间很小的一个区域。（B）一个气体中分子群体的相空间肖像。这里的轨道将经过相空间的每个部分——运动是遍历性的。
在某个实际运动状态之下的系统，我们听其自然，它迟早将会经历每个与能量方程相容的相点。”难道这些遍历性系统含有了解时间之箭的秘诀？
钟摆是一个可积分系统，一群分子被假设是个遍历性的系统，它们迥然不同的相空间肖像是区别这两种不同行为极有价值的直观教具。
在 1930 年代，数学家诸如纽曼、贝克霍夫、霍普夫、哈尔末斯（P．R．Halmos）等，为遍历性系统的理论处理，建立了一个数学严格的框架，叫遍历理论。该理论此后发展成为一个完整的纯数学学科。一群苏联数学家，最初经由辛钦（Aleksandr Khi-nchine）的启发，后来在柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov）、阿诺索夫（D．V．Anosov）、阿尔诺耳德（Vladimir Arnold）、西奈伊（Yasha Sinai）等人的领导
下，逐渐把持了这领域。
他们的工作揭示了，遍历系统中存在有不同层次的行为——有的简单，有的复杂，有的很奇妙：简单同时又复杂，它们不同的相空间肖像需要用整个一个画廊来装。就如艺术史专家把绘画分成“经典派”，“印象派”，“立体派”，“现代派”等等，这些肖像的分类可以揭露其中动力学不稳定性的特征——这和混沌有密切关系，对时间箭头在原子分子层次上的了解极为重要。
有个问题必须解决，我们才能找到时间箭头——因为即使在遍历性系统中，庞加莱回归的阴魂仍然不散。一个系统如果被锁在永远回归的循环之中，它就不可能有时间箭头。正如庞加莱所指出，一个动力学系统，不管多么复杂，如果注定它行为重复，就不会存在有伴随不可逆性的、永不回头的熵增。把庞加莱回归和无时间宇宙割开的是两个字：混沌。
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