漫谈分维、奇异吸引子、混沌_宇宙时间奥秘
在一个化学钟里，非线性的复杂性显示为时间上有规则的行为：起化学反应的混合体的颜色有节奏地变来变去。上面已经看到，描述这种行为的是一个极限环式的吸引子，化学反应在那里的行为，像一个轴承滚珠在一顶墨西哥宽边帽的边缘上滚动一样。我们应该把这种行为和描述热力学平衡的定点吸引子对比（见插图 19（a））；定点吸引子我们前面曾比作一个漏斗的底。
然而由于不可逆过程而产生的还有另外一种吸引子，它描述的是时间上完全两样的行为——混沌。退化为混沌的过程最好用分叉图（插图16（b））来说明。分叉图显示当诸如化学钟的一个系统被推得离平衡态很远以后，它各种可能表现的行为：在第一个临界点，它分枝为二，产生二种可能性。每一枝又依次生出多个小枝，这样枝上生枝，一直生下去，数学上这相当于非线性系统能在完全一样的情况之下表现多种不同的行为。这些临界点或分叉点越来越多，最后整个图的右方便是许许多多的可能性密集的一团。让我们回想一下横坐标的意义：“图的右方”就是代表远离热力学平衡的地方。
由于巨大数目的可能状态紧紧地聚在一起，在此场合，可选择的行为之多，令人眼花缭乱。系统已不再只是限制在少数几根“枝”上，而是可以在无数的可能状态中取样。一个系统要从平衡态（横轴的原点）到达这样的混沌状态，在它被推向离平衡态越来越远（但不是无穷远）的过程中，它可能经历了无穷多个临界点。我们或许会以为，离平衡态越远，这棵分叉树上的混沌便越普遍。然而复杂的程度远大于此，因为分叉树很像法国梧桐，每层树叶之间仍是空的。这样，在混沌里面存在规律性的“岛”或“窗”，窗里又有窗，一直下去，无穷无尽，并且“反
之亦然”。本章下面还要重游个别通向混沌的道路。
混沌演化看上去和我们一直在讨论的完全相反：它否定时间演化中任何长期规则性或可预言性。一个化学钟的成分浓度如果有了改变，如果它被推得离平衡态太远，它的颜色便不再出现一次一次有规则的变化：它变成一个混沌混合体了。在这种情况下，它变红变蓝完全是随机性的：我们不能预言下一次变化是什么时候发生。某一次的实验记录结果不会重复。下一次实验会出现另一套随机的颜色变化的时间间隔。
尽管有这种不守规矩的行为，混沌还是可以用吸引子的概念来理解。这一点是茹厄勒（David Ruelle）和拓肯斯（FlorisTakens）在 1971 年证明的。茹厄勒出生在比利时，在巴黎附近的伊菲特河上布若镇的高级科学研究学院工作；拓肯斯则来自荷兰赫罗宁艮大学。他们的论文题目是：“关于湍流的本质”。论文
三种吸引子。（A）定点吸引子（稳态；平衡）与其机械对应体。（B）极限环（周期性）吸引子与其机械对应体。（C）洛伦兹奇异吸引子。
提要短得惊人——“本文提出耗散式系统中产生湍流及其有关现象的一个机制”；而论文本身却是密密层层的高级数学。两位作者想理解的是，例如当你把水龙头大大打开时，初始平滑的流动如何转变成本质复杂的湍流。可是他们结论的应用范围远远超过这些例子，出现的是一个怪兽，叫“奇异吸引子”。
这跟实际世界有何关系？茹厄勒用香烟的烟在宁静空气中的上升的例子来说明它的用途：“烟柱在一定的高度上出现振荡，振荡是如此复杂，要理解它看上去几乎不可能。虽然它在时间上的演化遵守严格决定性的规律，它的行动却好像是自己作主。物理学家、化学家、生物学家，一如数学家一直在想了解这种情况。在此过程中，他们从奇异吸引子的概念和现代计算机的运用里，得到帮助。”
奇异吸引子的来源，茹厄勒描写如下：“我问拓肯斯，这个极为成功的词语是不是他创造的。他回答说：‘你问过上帝是他创造了这该死的宇宙吗？ 我什么也记不得 我常常创造，过后就不记得了。’这样看来，奇异吸引子似乎是在狂风闪电之下诞生的。不管怎样，这个名字很美，极适合那些令人惊讶而我们还很不明白的东西。”另一方面，英国数学家塞曼（ChristopherZeeman）认为：“或许一个更好的名字是‘混沌吸引子’，因为现在它们中间许多例子都不太奇异了。”这两个名字都有人在用。
奇异吸引子和我们先前遇到的两种吸引子——定点和极限环，大不相同（见彩色插图），虽然它也是稳定的，也是代表某种系统可能驻留
的状态，也是时间之箭可能的目标。它有两个特性。一是和极限环不一样，它对初始条件极端敏感：一个被一个奇异吸引子捕获的系统，它的长期行为和它当初最细微的细节都有关。奇异吸引子和极限环不同的第二点是：奇异吸引子是一个“分维体”。
“分维”这个词是 1975 年问世的。曼德布罗特（BenoitMandelbrot）创造了该词，为的是要描述在不同尺度上都具有同样的不规则形状的奇怪几何。奇异吸引子，不管我们把它的某一部分放大多少倍，它基本上仍具有该吸引子的全盘结构。花纹里面有花纹，那里面又有花纹，一直下去，永无止境，这个性质叫“自相似”。同一个花纹在每个尺度上都存在：一片枫叶的边缘上满布着小枫叶形状，小枫叶的边缘上又是更小的枫叶形状（参见黑白插图）。这叫做尺度转换下的不变性，因为物体不管在哪个尺度上看，花样的形式都是一样的。
曼德布罗特的工作撼动了我们对维度和维数的想法。众所周知，线的维数是一，而正方形里的面是个二维体。但是实际上，这些差不多总是理想化过的：物体的维数可以是一点几。此处的“点几”就是说该物体的维数是一个分数。曼德布罗特为了说明这个观念，在他的一篇论文里问：“英国的海岸线多长？”稍思片刻，我们就知道答案跟用来量海岸线的尺度有关。用海边城市之间的直线距离，我们算得的是一种粗略的估值。但你如果沿着海岸步行，绕着每个小海湾、每条小河的出口走，你就会发现这海岸线大大地增长了。对一个蚂蚁来说，仅仅小石头就要大大地拉长旅程，至于对一个蠕动的细菌，英国的海岸简直是永无止境。答案很明显地和测量所用的尺度有关，这是因为基本上在所有的尺度上都存在有结构。的确，如果我们能把尺度缩到无穷小，海岸线的长度就会变为无穷大。因此我们有如下的似非而是的结果：海岸是一条无穷长度的“线”，很容易地包含在一个有限的面积里面（围英国划一个圆）。
实际的海岸线具有自相似的分维性质，虽然这句话应该从平均、统计的角度去理解。有一个用数学定义的曲线，和海岸线十分相似，叫“苛赫曲线”（ 1904 年苛赫（Helge vonKoch引入），它由一系列越来越小的三角形组成，如插图 20 所示。苛赫曲线的维度介于一维的欧氏线和二维的平面之间，它的维数的近似值是 1.2818。
分维图案的发现，揭示了一条认识自然界美妙而无穷尽的复杂层次的新途径。曼德布罗特的工作，一如他以前一些数学家的工作，很适合描写我们周围和我们体内的各种自然形态。云和海岸线都是分维体。并且分维体并不仅限于无生物。一棵树根系的二维投影，一幅神经照片，和路过的卫星拍摄的河三角洲的图像都极为相似。它们都可以被认为是分维体，它们彼此相似，是因为它们的大尺度形态可以从不断重复一个简单的数学规律而生长出来。我们身体里许多结构都是由分维组织所控制。曼德布罗特写道：“肌肉组织 不管多小，都具有交叉排列的动
脉和静脉。它是一个分维面。”至于人脑的皱摺轮廓，曼德布罗特说：“要定量分析这种轮廓，传统几何是无能为力的，而分维几何却是得心应手。”的确，一个有趣的问题是推测自然界仍保持分维性的最小尺度——这可能表明，追求物质的“最终单元”是徒劳无益的。
苛赫曲线。作法：开始是三角形。在它每条边上加一个新的小三角形。这样继续下去做成下方的曲线。
奇异吸引子跟时间有什么关系呢？部分回答是说奇异吸引子描述混沌演化，而混沌演化，我们将在第八章看到，完全推翻了时间对称的决定性论。第一点要掌握的是：一个化学反应在奇异吸引子中的代表点，由于吸引子的分维性质，将经历一串无穷系列的点（参见彩色插图）。定点吸引子和极限环吸引子的维数分别是零，一，二，三， 等等，而奇异吸引子可以定义为维数是分数的吸引子。茹厄勒写道：“那些团团的曲线，那片像云的点子，一会儿像焰火，一会儿像星系，一会儿又像奇怪令人不安的植物蔓延。这是一个形态等待探讨，妙音等待发现的国度。”奇异吸引子的维数是分数，这事实使我们对它第二个性质——混沌，有了心理准备。奇异吸引子拥有无穷多的可能性，而这些无穷多的可能性全包含在一个有限的区域里：随着时间的流逝，系统取样于不同的位形，永不重复。我们可以想象系统无止境地在描出图案中的图案里面的图案。这乍看上去似乎很难想象。然而一旦有了分维体的概念，就不难看出，一个系统——奇异吸引子，不因为它是限制在一个有限区域之内，就不能跟永无止境的新机会相遇。
一个动力学系统一旦被吸入一个奇异吸引子，该系统的长期未来行为，就变为完全不可预测的了。这是因为，如上所述，奇异吸引子对初始条件敏感到难以置信：除非系统以严格的无限高精度开始，它终究将会变为完全不可预测。虽然控制不可逆系统时间演化的微分方程是决定性的，虽然原则上初始条件一知道就可以预言整个的未来，可是系统对初始条件的极端敏感彻底粉碎了可预言的钟表式宇宙的想法。
为了突出这种异常行为，我们可以将它和陷入极限环的化学钟对比。代表化学钟的滚珠不管是怎样扔进那顶高边帽，它最后总是绕着帽边儿滚动。但是在一个混沌奇异吸引子的范围里，发生的完全是另一回事。假设滚珠滚进一个奇异吸引子里面了，而你想要它重复它经历过的那条复杂的路线。你将发现，不管你取哪个邻近的出发点——不管多近，总跟当初的不同，你的轨道会很快地和原轨道分散，在吸引子里面作完全不同的运动，走的是分维体无穷花样套花样里面的另一条轨道。
耗散式混沌产生于奇异吸引子的套中有套层出不穷的世界。对这种混沌系统的实验，只有在以无穷高的精度得知初始条件的情况之下，才
有可能作出绝对准确的预言。但实际上不会有这种情况，初始条件多少总有一点不确定性，这不确定性将随时间以指数方式增大。混沌和对初始条件敏感性之间这个关联，极为重要，它使我们可以对时间之箭给出一个自洽的科学描述。
然而，在决定性混沌里面——叫“决定性混沌”是因为它来自决定性的非线性方程——也存在有某些规则性。这种混沌是系统内产生的，是系统的一个内禀性质。因此，在概念上，它和外界环境随机涨落（噪音）的影响迥然不同。这种随机过程——噪音，能在一个并未陷入一个奇异吸引子的系统里面，产生随机的像是混沌的行为。科学家面临的跨栏之一就是，如何区别决定性混沌和随机性混沌。下章我们谈一些复杂的生物现象时，这座障碍又会来挡路。
决定性混沌使“有序”、“无序”的概念变模糊了。近来有一种倾向，用“混沌”（意即决定性混沌）一词来解释一切，不仅用于不可预测的或不稳定的场合，并且用在用“自组织”更为恰当的地方。我们不要被“混沌”这个时髦字眼弄得眼花缭乱。秩序和决定性混沌来源一样，它们都是用非线性微分方程描述的耗散式动力系统。不过，就如下章所述，对生物学和生命本身来说，有序的情况往往比混沌的情况更为重要。当研究者打着混沌的时髦旗号把论点放在我们面前时，我们应该多少带点儿怀疑态度。对每种情况应该分别加以评价。
化学混沌，茹厄勒早在 1973 年首次提出。在我们的化学钟例子里，当颜色从红到蓝的变化不再像钟表那样地有规则时，那便是奇异吸引子存在的标志。茹厄勒告诉我们，为什么决定性混沌被经典科学认为是违背正道。这是因为传统上，科研者从数据中找到规则模式以后，他们就很有希望理解这些规则模式。1971 年，茹厄勒问一位研究振荡反应的专家，问他是否碰见过，对时间的倚赖是混沌式的反应。他回答说，以前要是一个化学实验者得到一串混沌式的记录，他就肯定把记录扔掉，说实验没有成功。现在情况总算好些了，现在我们有多个非周期性化学反应的实例了。
混沌能以多种方式在化学中产生。一个配方是：先按照通常办法把振荡式反应建立成一个开放系统，用搅动式反应器使系统保持在远离平衡的状态。这时原料的输入率如果固定，反应便会成为一个稳定的颜色周期循环。现在假设我们提高原料的输入率，以不同于化学钟的频率，改变原料浓度在时间上的变化。我们可以把化学配料的流率作为离平衡态距离的标志：流率越小，反应就越靠近平衡态，流率越大就离平衡态越远。因此，当流率增加时，反应就被推过一个又一个的临界点：大到一定程度以后，混沌式化学便会显露头角（参见黑白图片）。
位于奥斯汀的得克萨斯大学的斯温尼（Harry Swinney）与其合作者详细研究了 BZ 反应的动力学性质，他们得到有力的证据，证明该反应混
沌状态中存在着一个奇异吸引子。决定性混沌虽然是化学本身的某种学术性奇物，但对它进一步的了解对化学工程将会有用，因为许多化学工业过程本质都是非平衡的。在有生命的系统中，混沌所扮演的角色也可能重要，——有人甚至认为是不可缺少的。
奇异吸引子的概念虽然是在 1971 年才被茹厄勒、拓肯斯明文写出，却早已隐含在麻省理工学院气象教授洛伦兹（EdwardLorenz）1963 年的一篇论文之中。洛伦兹想了解天气预报为什么常常不准。英国的一个天气预报员菲什（Michael Fish）肯定会觉得洛伦兹的话很入耳。 1987 年 10 月 15 日，菲什对电视观众说：“一位女士刚来电话说，她听说暴风雨就要到了；观众们，请放心，没那么回事。”但果然就有了那么回事。
洛伦兹的工作为这类错误的预报提供了一个有力的辩解。凭着一台计算机（当时还是很希罕的东西）和他那一行少见的数学本领，洛伦兹致力于设计一个大气气流的数学模型，要它尽可能地简单，但不漏掉任何重要的物理性质。洛伦兹的方程对一层从下方加热的水平液体给出一个近似描述。液体较热的部分比较轻，要向上浮，从而搅起对流。如果加热够强，流动将是不规则的湍流。洛伦兹最后得到的是三个相互耦合的非线性微分方程——要奇异吸引子出现至少要有三个方程。洛伦兹研究了这组方程，逐渐意识到，求解时输入计算机的初始天气条件不管有多么微小的变化，结果（天气预报）就会在很短期间完全改变。要是别人就很可能说这是计算机有什么毛病，但是洛伦兹在气象学上的经验使他能完全接受这个出人意料的结果——在这一点，他是远站在他时代的前面。他的奇异吸引子（现在以他命名）直到十多年以后才得到公认。不过就是今日，这还没有被证明为数学意义中的奇异吸引子，虽然它所有的物理性质都和我们所期望的一样。
用越来越精巧的计算机来取得越来越准确的天气预报，这个想法由于混沌的存在，面临一个严重的障碍——洛伦兹方程对初始条件的极端敏感性，即洛伦兹所谓的“蝴蝶效应”。这生动地说明，由于混沌，最微小的事件会引起最巨大的后果。奇异吸引子，差之毫厘，谬以千里：亚马孙森林里一只蝴蝶抖一下翅膀，就会引起西印度群岛一场狂风暴雨，等等。然而，夸张的比喻说说固然无所谓，但不要忘记，如果为了更符合实际，我们在洛伦兹方程里多加一些变量，混沌就反而更难找到，而不是更容易找到。
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