平直的和弯曲的空间_宇宙时间奥秘
为了了解爱因斯坦是如何解决引力问题的，我们首先必须考虑一下我们日常所经验到的世界的几何。公元前 320 年到 260 年生活在亚历山大的古希腊数学欧几里德，对此几何有过详尽的阐述。爱因斯坦发现，欧几里德几何（欧式几何）只适用于空间中某些限定的区域。由度规结构描述的那些几何性质，在地球上是非常有用的，但是应用到宇宙的大尺度结构上就不行了。
考虑时空最简单的办法是把时空当作只是空间，同时用光的速度作
为一个量杆（请记住，光速是绝对的）。一段时间的间隔可以转换成一段空间长度，只要简单地用光在这段时间内走的距离来表示就行了。天文学家们常采用光年来表示星系以及星系之间的距离，一光年大约是 10 万亿公里，同时也常用另一个叫做秒差距的单位，它等于 3．26 光年。这样做是为了避免太多的零出现在距离的表示中。例如，采用这样的距离单位后，太阳的距
平直的（A）和弯曲的（B 和 C）空间。球面（B）的曲率是正的，而鞍形面（C）的曲率是负的。
离仅仅是 8 光分（光在 8 分钟内走过的距离），天狼星的距离是 2．7 个秒差距，双子座星系团的距离是 3 亿 5 千万秒差距。
在狭义相对论中的度规性质意味着时空几何是平直的，像一张铺着绿色厚毛呢的台球桌面那样。但是在广义相对论中，我们必须熟悉弯曲时空的概念。从直觉上，每一个人都知道一个平面，即一个两维空间，是什么意思。一张平展地放置在桌面上的纸，就表示一个平直空间（它没有曲率）。而另一方面，球面却是弯曲的。这些两维空间或者表面（它们在数学上叫做流形）很容易阐明，因为它们嵌在我们非常熟悉的三维空间之中。我们不大可能直观地想象，高于三维的几何结构是什么样子，除非在某些神秘的感受下或许可能。然而非常重要的一点是，我们要认识到，一个空间的平直或弯曲，完全是这个空间的内禀性质。并不需要一个更高维的空间作为参考对照物。
平直表面的几何与弯曲表面的不同，这一点具有基本的意义。孩子们在学校学的是平直空间的几何，它在两千多年以前就被欧几里德详细阐明了。每一个中学生都知道，三角形的三个角之和是 180 度，以及半径是 R 的圆的周长是 2πR。爱因斯坦这样讲到过，“欧几里德几何 是一座宏伟壮丽的大厦，在它高耸的阶梯上，你会被认真尽责的老师们紧追不放，为它花费掉无数个钟点。”但是实际上，它的结果只有对于平直空间才是正确的。画在一个球面上的三角形，它的三个角的和要比平面情况下的大，而球面上的一个圆的周长，要小于画在平面上的圆周长，具体的结果取决于球面的曲率。虽然我们不可能想象一个弯曲的三维空间，然而我们可以用同样的方法去推断它的存在。让我们来看一下所谓的“平面世界”，它是维多利亚时代的一位教师阿伯特（Edwin Abbott）1884 年首先描述的。阿伯特讲述了一种叫做扁方先生的生物的奇遇，这种生物具有两维结构，没有上和下的感觉，只能保持在一个表面上运动。为了我们的讨论，让我们想象扁方先生处在一个球面上。它会很快发现它是生活在一个弯曲的空间中，虽然这在第三维看来是很明显的。为此，它只需要出发沿一条直线向前，然后在某一地点它就会发
现，它已经回到了出发时的位置。实际上，确切说来，这个特点是扁方先生所居住的世界所具有的、整体拓朴或者大尺度形状的一个性质，而不是一个局部的性质。但是，扁方先生和生活在三维空间的我们自己，只需要测量这样的（局部的）性质，比如像圆的周长，就可以知道，这性质是符合欧氏几何的定律（这样我们就是生活在一个局部平直的空间），还是与欧氏几何不符（这样我们的空间就是弯曲的）。十九世纪伟大的德国数学家兼天文学家高斯（CarlFriedrich Gauss，1777— 1855），认识到了这一点并且做了许多实验，去探测我们的三维空间偏离平直的程度。但是，无论是他本人，还是后来继续做这件事的人，都没有在地面实验中探查出空间的任何弯曲。这当然不会使我们感到惊奇，因为欧氏几何对我们说来是相当准确地成立，否则学校里就不会开这门课了。
然而，纯数学家通常是不考虑真实的物理世界的。在十九世纪，他们开始构想任意维数和曲率的抽象空间，并且极为详尽地描述它们的几何性质。这个工作首先是高斯开创的，他的学生黎曼（Georg FriedrichBernhard Riemann，1826—66）发展了它，后来使这一理论臻于完善的，主要是克里斯多夫（BrunoChristoffel），李奇—卡拉斯特罗（Ricci—Curastro）和李微—西威塔（Tullio Levi-Civita）。这些卓越的数学家阐明，度规结构可以告诉我们空间的情况，特别是它是平直的（欧氏的），还是弯曲的（非欧氏的）。
当这些发现刚刚被得出的时候，它们仅仅是使一个小圈子里的数学家从学术上感到兴趣的东西。直到爱因斯坦的工作问世以后，人们才广泛地认识到这些智慧之果所具有的深刻物理意义。除此之外，也只是由于爱因斯坦和他后继者的工作，时间才同样被纳入几何之中。如我们前面提到过的，闵可夫斯基关于狭义相对论的研究表明，为了数学物理上的目的，可以把时间作为像另一维空间那样处理。这样一来，不仅可以谈论平直的和弯曲的空间，而且可以谈论平直的和弯曲的时空。
刚到苏黎士的时候，爱因斯坦并不知道黎曼的工作，以及这件工作对于他本人正在思考的问题的重要意义。但是当他跟格罗斯曼讨论引力问题的时候，格罗斯曼告诉他说，他要寻找的东西是一种时空，它具有所谓的黎曼几何结构，这种结构完全不同于狭义相对论的欧几里德性质。
时空的关键特点是，即使它在大尺度上弯曲，在小尺度上也可以看作是平直的，正像一个人站在板球场上，会觉得地球看上去很平坦一样。这样一来，对于描述发生在时空局部区域的事件，狭义相对论和洛伦兹变换仍然可以成立。但是当这个区域扩展到时空曲率变得显著的时候，情况就不再是这样的了。这就像是，板球场在板球队员看来是平坦的，而它所在的那块大陆，在一个宇航员看来却是弯曲的。球面的半径越大，
它的曲率越小，而且在任何一点的周围，看来是局部平坦的区域也就越大。
从欧氏几何转变为黎曼几何，这是使爱因斯坦得出他的后牛顿引力表示式的关键。起初他还得到了格罗斯曼的合作。1914 年爱因斯坦迁居柏林，在那里他最后完成了广义相对论，他的这一论文题目是“引力的场方程”，于 1915 年 11 月 25 日提交给普鲁士科学院。
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